含调和数的椭圆积分相关无穷级数及变换问题问询

先给大家梳理下目前已知的相关结论：

• 以下两类超几何函数属于椭圆积分范畴：
  第一类（对应公式(1)）：
  $$ , _2F_1\left({a,1-a\atop 1};x\right),\quad a=\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14,\tfrac16 $$
  第二类（对应公式(2)）：
  $$ , _2F_1\left({\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\atop \tfrac{4}{3}};x\right),, _2F_1\left({\tfrac{1}{2},b\atop b+1};x\right),\quad b=\tfrac14,\tfrac16 $$

• Martin Nicholson在arxiv预印本中证明了含调和数的生成函数级数（对应公式(3)）：
  $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(a)_n(1-a)_n}{(n!)^2}H_nxn,\quad a=\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14,\tfrac16 $$
  可以通过第一类椭圆积分（即上述公式(1)）表示为闭形式，其中$H_n$代表第n个调和数。

目前，当$a=\tfrac12$时的对应公式已经能在相关问题或文献中找到，但遗憾的是，针对第二类椭圆积分（公式(2)）的类似含调和数级数，还没有已知的闭形式结果。

接下来我们可以考虑从Kummer变换与Pfaff变换的角度切入，探索这类空白领域的级数表示问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者D.B. Cooper