使用欧拉公式证明复数域中sin(z)=0等价于z=πk（k∈ℤ）的方法咨询

别担心，咱们一步步拆解这个证明，从欧拉公式入手其实逻辑非常清晰。

首先，先回忆欧拉公式：对于任意复数$z$，有
$$e^{iz} = \cos(z) + i\sin(z)$$

从这个公式，我们可以推导出$\sin(z)$的指数形式表达：
把欧拉公式中的$z$替换成$-z$，得到
$$e^{-iz} = \cos(z) - i\sin(z)$$
用第一个式子减去第二个式子，再除以$2i$，就能得到：
$$\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$$

接下来我们分两个方向来证明等价性：

方向1：若$z=\pi k\ (k\in\mathbb{Z})$，则$\sin(z)=0$ #

把$z=\pi k$代入$\sin(z)$的指数表达式：

• $e^{i\pi k} = \cos(\pi k) + i\sin(\pi k) = (-1)^k$（因为$\cos(\pi k)=(-1)^k$，$\sin(\pi k)=0$）
• $e^{-i\pi k} = \cos(-\pi k) + i\sin(-\pi k) = \cos(\pi k) - i\sin(\pi k) = (-1)^k$

代入后分子为$(-1)^k - (-1)^k = 0$，因此$\sin(z)=\frac{0}{2i}=0$，充分性得证。

方向2：若$\sin(z)=0$，则$z=\pi k\ (k\in\mathbb{Z})$ #

假设$\sin(z)=0$，根据$\sin(z)$的指数表达式：
$$\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = 0$$
两边乘$2i$（$i\neq0$，等式依然成立），得到：
$$e^{iz} - e^{-iz} = 0 \implies e^{iz} = e^{-iz}$$
两边同时乘以$e^{iz}$，得到：
$$e^{2iz} = 1$$

现在回忆复数指数函数的核心性质：对于复数$w$，$e^w=1$当且仅当$w=2\pi k i$，其中$k\in\mathbb{Z}$（这是因为复数指数函数是以$2\pi i$为周期的，且只有指数为$2\pi k i$时结果为1）。

所以我们有：
$$2iz = 2\pi k i$$
两边同时除以$2i$（$i\neq0$），得到：
$$z = \pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$
必要性得证。

综上，两个方向都成立，因此$\sin(z)=0 \Leftrightarrow z=\pi k\ (k\in\mathbb{Z})$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Joanna M