证明：当f满足L¹∩L^∞且0处连续时积分极限等于f(0)

已知条件 #

已知函数 $f\in L^{1}({\bf R}^{n})\cap L^{\infty}({\bf R}^{n})$，且 $f$ 在点 $0\in{\bf R}^{n}$ 处连续。其中 $f$ 的傅里叶变换 $\widehat{f}(\xi)$ 定义为：
$$\widehat{f}(\xi) = \displaystyle\int_{{\bf R}^{n}}f(x)e{-2\pi i\langle x ,_\xi\rangle}dx$$

我们的目标是证明：
$$\displaystyle \lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{{\bf R}^{{n}}{\widehat{f}(x)e}{-\pi|\varepsilon x|^{2}}}~dx=f(0)$$

推导过程 #

首先回忆一个关键的已知结论：高斯函数 $e^{-\pi|x|{2}}$ 的傅里叶变换就是它本身，这个性质是整个推导的核心。

步骤1：代入傅里叶变换定义并交换积分顺序

把 $\widehat{f}(x)$ 的定义代入待求积分，利用Fubini定理（因为 $f\in L^1({\bf R}^n)$，满足积分交换的条件）交换积分顺序：
\begin{align}
\int_{{\bf R}^{{n}}{\widehat{f}(x)}e}{-\pi|\varepsilon x|^{2}}~dx&=\int_{{\bf R}^{n}}\left(\int_{{\bf R}^{n}}f(t)e{-2\pi i\langle x,t\rangle}dt\right)e^{-\pi|\varepsilon x|^{2}}~dx\
&=\int_{{\bf R}^{n}}f(t)\left(\int_{{\bf R}^{n}}e{-2\pi i\langle x,t\rangle}e^{-\pi|\varepsilon x|^{2}}dx\right)dt
\end{align}

步骤2：对内部积分做变量替换

针对关于 $x$ 的内部积分，令 $y = \varepsilon x$（即 $x = \varepsilon^{-1}y$），此时 $dx = \varepsilon^{-n}dy$，代入后可得：
\begin{align}
\int_{{\bf R}^{n}}e{-2\pi i\langle x,t\rangle}e^{-\pi|\varepsilon x|^{2}}dx&=\int_{{\bf R}^{n}}e{-2\pi i\langle \varepsilon^{{-1}y,t\rangle}e}{-\pi|y|^{2}}\cdot \varepsilon^{-n}dy\
&=\varepsilon^{-n}\int_{{\bf R}^{n}}e{-2\pi i\langle y,\varepsilon^{{-1}t\rangle}e}{-\pi|y|^{2}}dy
\end{align}

根据高斯函数的傅里叶变换性质，$\int_{{\bf R}^n}e{-2\pi i\langle y,\eta\rangle}e^{-\pi|y|2}dy = e^{-\pi|\eta|2}$，这里取 $\eta = \varepsilon^{-1}t$，所以上述积分结果为：
$$\varepsilon^{-n}e{-\pi|\varepsilon^{-1}t|2} = \varepsilon^{-n}e{-\pi|t|^{2/\varepsilon}2}$$

步骤3：替换回原式并再次变量替换

将上述结果代回原式，再做一次变量替换 $t = \varepsilon s$（此时 $dt = \varepsilon^n ds$），积分变为：
\begin{align}
\int_{{\bf R}^{{n}}{\widehat{f}(x)}e}{-\pi|\varepsilon x|^{2}}~dx&=\int_{{\bf R}^{n}}f(t)\cdot \varepsilon^{-n}e{-\pi|t|^{2/\varepsilon}2}dt\
&=\int_{{\bf R}^{n}}f(\varepsilon s)e^{-\pi|s|2}ds
\end{align}

步骤4：利用控制收敛定理求极限

现在我们需要计算 $\varepsilon\rightarrow0$ 时的积分极限：

• 因为 $f\in L^\infty({\bf R}^n)$，存在常数 $M>0$，使得对所有 $x\in{\bf R}^n$ 都有 $|f(x)|\leq M$，因此 $|f(\varepsilon s)e^{-\pi|s|2}|\leq M e^{-\pi|s|2}$；
• 而 $M e^{-\pi|s|2}$ 是 $L^1({\bf R}^n)$ 中的函数（高斯函数的可积性是已知结论）；
• 又因为 $f$ 在 $0$ 处连续，所以对任意 $s\in{\bf R}^n$，$\lim_{\varepsilon\rightarrow0}f(\varepsilon s) = f(0)$。

根据勒贝格控制收敛定理，我们可以交换极限与积分的顺序：
\begin{align}
\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{{\bf R}^{n}}f(\varepsilon s)e^{-\pi|s|2}ds&=\int_{{\bf R}^{n}}\lim_{\varepsilon\rightarrow0}f(\varepsilon s)e^{-\pi|s|2}ds\
&=\int_{{\bf R}^{n}}f(0)e{-\pi|s|^2}ds\
&=f(0)\cdot \int_{{\bf R}^{n}}e{-\pi|s|^2}ds
\end{align}

最后，n维高斯积分的结果为 $\int_{{\bf R}^n}e{-\pi|s|^2}ds = 1$，因此：
$$\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{{\bf R}^{{n}}{\widehat{f}(x)e}{-\pi|\varepsilon x|^{2}}}~dx=f(0)$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1992