无滑移条件下圆盘旋转角φ与θ的数学关系技术问询

嘿，这个问题在刚体滚动的经典场景里很常见，我来给你拆解清楚～

首先得抓住无滑移条件的核心：圆盘和接触表面之间没有相对滑动，也就是说圆盘边缘与接触点接触的瞬时，该点相对于接触面的速度为0。我们先定义几个关键参数：

• 旋转臂的长度（从旋转中心到圆盘中心的距离）：L
• 圆盘的半径：r

当旋转臂转过角度φ时，圆盘的中心会绕旋转中心走过一段弧长，这段弧长的计算公式是：
弧长 = 旋转臂长度 × 旋转角 = L × φ

因为无滑移，圆盘自身旋转所带来的边缘弧长，必须和圆盘中心移动的弧长相等——否则就会出现滑动，违背无滑移假设。圆盘自身转过角度θ时，边缘走过的弧长是：
弧长 = 圆盘半径 × 自转角 = r × θ

把这两个弧长做等式（无滑移的核心推导式）：
rθ = Lφ

最后整理一下，就能得到θ和φ的明确比例关系：
θ = (L/r)φ

补充一点：如果旋转臂和圆盘的旋转方向相反，等式里会多一个负号，但两者的正比关系是确定不变的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matt