求证a/b非整数的数学问题及互质性相关疑问

嘿，我来帮你理清这个问题！咱们分两部分来聊：先解决你关心的「条件是否能说明a、b互质」，再证明$\frac{a}{b}$不是整数。

一、先明确：这个条件不能推出a、b互质 #

举个直观的例子就懂了：比如$a=9$，$b=12$。存在$n=2$（≥2），满足2整除12，但2不整除9，完全符合题目里的条件。但你算一下$\gcd(9,12)=3$，显然a和b并不互质。

本质上，这个条件只是说明：b的素因子集合里，至少有一个素因子不在a的素因子集合里，或者某个素因子在b中的指数比在a中的高——但这和「a、b互质」（即两者没有公共素因子）是不同的概念，所以不能直接得出互质的结论。

二、证明$\frac{a}{b}$不是整数：反证法轻松搞定 #

不用纠结互质的问题，直接用反证法就能推导：

假设$\frac{a}{b}$是整数，设这个整数为$k$，那么根据整数定义，可得 $a = k \times b$。
已知存在整数$n≥2$，满足$n | b$，也就是存在整数$m$，使得 $b = m \times n$。
把$b$代入$a = k \times b$，得到 $a = k \times m \times n$，这就意味着$n$能整除$a$（因为$k$、$m$都是整数，乘积也是整数）。
但题目明确说$n ∤ a$，这就产生了矛盾！

所以我们的假设不成立，$\frac{a}{b}$必然不是整数。

是不是很清晰？核心就是从假设出发，推出和已知条件矛盾的结论，直接推翻假设就行~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SS'