范畴论中箭头与函数语境下“parallel”术语含义问询

嘿，这个问题问得特别到位，刚好是范畴论里基础但容易让人混淆的细节，我来帮你理得明明白白：

1. Parallel Arrows的核心定义 #

先给你明确范畴论里的标准说法：两个箭头f和g被称为parallel（平行），当且仅当它们的定义域完全相同，并且余定义域也完全相同。

所以你提到的两种表述：

• 「给定定义域为A、余定义域为B的箭头f和g」——这句话其实已经隐含了f和g是平行箭头的属性；
• 「给定parallel arrows f和g，其定义域为A、余定义域为B」——只是把“平行”这个属性明确点出来了，没有添加任何额外的语义，只是让表述更直白，避免读者不小心忽略定义域/余定义域的一致性。

简单说：定义域+余定义域相同 = 平行箭头，二者是等价的，不存在“额外条件”。

2. Parallel Functions 和 Parallel Arrows的关系 #

你猜的完全没错！在范畴论语境下，「parallel functions」和「parallel arrows」的含义完全一致。因为在最基础的集合范畴Set里，范畴的箭头就是集合之间的函数，所以这里的“平行”同样指两个函数有相同的定义域和相同的陪域（注意是陪域，不是值域——值域是函数实际映射到的集合，陪域是定义函数时指定的目标集合）。

你在《Topoi》和《Category Theory in Context》里看到的parallel functions示例，本质上就是集合范畴里的平行箭头，它们被用来举例相关定理（比如等化子、余等化子这类和平行箭头强相关的构造），毕竟集合范畴是最直观的范畴，用函数来举例能让抽象的范畴论定理更容易理解。

补充：为什么要专门用「Parallel」这个术语？ #

虽然“定义域+余定义域相同”就等价于平行，但这个术语的价值在于简化表述——当我们需要反复讨论一组共享定义域和余定义域的箭头时，直接说「parallel arrows」比每次都重复“定义域为A、余定义域为B的箭头”要简洁得多。而且在范畴论的很多核心构造（比如极限/余极限、自然变换的组件等）里，平行箭头是高频出现的对象，给它们专门起个名字能让讨论更高效。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eric