拓扑学技术问询：判断X、Y是否为ℝ²的收缩核及单点紧化问题

首先明确我们的研究对象：

给定欧氏平面$\mathbb{R}^2$的两个子空间：
$$X=([1,\infty)\times{0})\cup\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{n}\times[0,1]\right)$$
$$Y=((0,\infty)\times{0})\cup\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{n}\times[0,1]\right)$$

问题a：寻找$\mathbb{R}^2$中与$X+$、$Y^+$同胚的子空间 #

正如提问者所说，这部分已完成证明，这里简单梳理下核心构造思路：

• 对于$X^{+$（$X$的单点紧化）：可以构造$\mathbb{R}}2$中的闭梳子形空间${(x,0)\mid x\in[0,1]}\cup\left(\bigcup_{n=1}^{{\infty}\left{\frac{1}{n}\right}\times[0,1]\right)$，它和$X}+$同胚——本质是把$X$的无穷远点“捏合”成这个梳子的$(0,0)$点，两者拓扑结构完全匹配。
• 对于$Y^{+$（$Y$的单点紧化）：对应的$\mathbb{R}}2$子空间可以取${(x,0)\mid x\in(0,1]}\cup\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\left{\frac{1}{n}\right}\times[0,1]\right)\cup{(0,0)}$，因为$Y$的单点紧化会同时填补原空间的无穷远和$(0,0)$的聚点缺口，这个闭梳子空间刚好对应这个拓扑特性。

问题b：判断$X$、$Y$是否为$\mathbb{R}^2$的收缩核 #

关于$Y$的结论（已明确） #

$Y$不是$\mathbb{R}^2$的收缩核，核心逻辑如下：
在Hausdorff空间中，收缩核必然是闭子集——假设存在收缩映射$r:\mathbb{R}^2\to Y$，那么$Y=r(\mathbb{R}^2)$，且对任意$y\in Y$有$r(y)=y$。利用Hausdorff空间的分离性，能证明非闭集无法成为这样的像。
而$Y$中，点$(0,0)$是$Y$的聚点（序列$(1/n,0)\in Y$收敛到$(0,0)$），但$(0,0)\notin Y$，因此$Y$不是$\mathbb{R}^2$的闭子集，自然不可能是收缩核。

关于$X$的结论与分析 #

$X$是$\mathbb{R}^2$的收缩核，我们可以通过构造具体的收缩映射来验证：

1. 先确认$X$是$\mathbb{R}^{2$的闭子集：$[1,\infty)\times{0}$是闭集，每个${n}\times[0,1]$也是闭集，且这些闭集构成局部有限族（$\mathbb{R}}2$中任意点的邻域仅与有限个竖直棒相交），因此它们的并集是闭集，满足收缩核的必要条件。
2. 构造连续收缩映射$r:\mathbb{R}^2\to X$：
   • 对于$X$内的点，直接令$r(x)=x$；
   • 对于$x\leq1$的点$(x,y)$：将其沿直线映射到$(1,\max(0,\min(1,y)))$，该点属于$X$的第一个竖直棒${1}\times[0,1]$或射线端点；
   • 对于$n<x<n+1$（$n\in\mathbb{N}^+$）的点$(x,y)$：
     先把$y$调整到$[0,1]$区间（$y>1$则拉到1，$y<0$则拉到0），再根据$x$的位置分段线性收缩：若$x\in[n,n+0.5]$，将$x$拉向$n$，最终映射到${n}\times[0,1]$；若$x\in[n+0.5,n+1]$，则拉向$n+1$，最终映射到${n+1}\times[0,1]$。

这个构造是分段线性的，全程连续，且满足$r|_X=id_X$，因此$X$确实是$\mathbb{R}^2$的收缩核。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者westlife