咨询：从60张牌组中两次抽到相同3张牌的概率计算（放回洗牌、顺序无关）

嘿，我来帮你理清这个概率问题的思路，你的初始想法有几个需要修正的地方，咱们一步步拆解：

首先得明确题目里的抽取方式：题目说“每次抽取后将牌放回并洗牌”，这里应该是指抽每一张牌后都放回洗牌，也就是有放回地抽3张（允许抽到重复牌）；如果是一次性抽3张再放回，那就是无放回抽3张的情况，我两种都给你分析清楚。

情况1：有放回抽取3张（每张抽完放回洗牌） #

你的初始思路犯了两个关键错误：

• 混淆了有放回和无放回抽取的结果数：你用了无放回的组合数C(60,3)，但有放回抽取时，存在抽到重复牌的情况（比如两张5一张3），不能直接用这个数；
• 错误计算了满足条件的情况数：即使按无放回算，满足“两次组合相同”的情况也不是1种，而是所有组合各自对应一次，所以概率不是1/C(60,3)²。

正确计算步骤： #

我们需要计算两次抽取的3张牌（作为多重集合，即顺序无关且重复情况一致）完全相同的概率：

1. 总有序结果对数量：每次抽3张，每张有60种可能，所以单次有序结果是60³=216000种，两次就是216000×216000=46656000000种。
2. 满足条件的有序结果对数量：我们按牌的重复情况分三类计算：
   • 三张全相同：比如AAA，共有60种这样的组合，每个组合对应的有序序列只有1种，所以这部分的结果对数量是60×1²=60；
   • 两张相同、一张不同：比如AAB，先选重复的牌（60种），再选不同的牌（59种），共60×59=3540种组合，每个组合对应的有序序列有3种（AAB、ABA、BAA），所以这部分结果对数量是3540×3²=31860；
   • 三张全不同：比如ABC，组合数是C(60,3)=34220，每个组合对应的有序序列有3!=6种排列，所以这部分结果对数量是34220×6²=1231920；
   • 把三类加起来，满足条件的结果对总数是：60+31860+1231920=1263840。
3. 最终概率：1263840 / 46656000000 = 2709/97200000 ≈ 2.71×10⁻⁵（约0.00271%）

情况2：无放回抽取3张（一次性抽3张后放回洗牌） #

如果是这种抽取方式，你计算组合数的部分是对的，但概率计算有误：

• 单次抽取的无序组合数确实是C(60,3)=34220，且每种组合的概率相等；
• 满足“两次组合相同”的情况数是34220种（每种组合对应两次都抽到它），总情况数是34220²；
• 所以概率是34220 / 34220² = 1/34220 ≈ 2.92×10⁻⁵（约0.00292%）

为什么你的初始思路不对？ #

你错误地认为满足条件的情况只有1种，但实际上，每一种可能的组合都对应一次“两次抽到相同组合”的情况，所以满足条件的情况数是组合数本身，而非1。另外，如果是有放回抽取，你还忽略了重复牌的存在，不能直接用无放回的组合数来计算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brett