已知联合质量分布，求解随机变量X与Y的边缘分布

嘿，你已经搞定Y的边缘分布啦，很棒！那咱们来一步步拆解X的边缘分布里的那个求和式，其实关键是做个变量替换，再利用指数函数的泰勒展开就搞定了～

首先，先纠正一个小细节：你写的求和式是$\sum_{y=0}^{{\infty}\frac{1}{(y-x)!2}y}$，但根据联合分布的定义，$x \leq y$，所以y的取值应该是从x开始，而不是0，不然当$y<x$时$(y-x)!$是没有意义的，所以正确的求和范围是$y=x, x+1, x+2, \dots$。

接下来咱们对求和式做变量替换：

• 令$k = y - x$，那么$y = k + x$，当y从x取到∞时，k就从0取到∞。

把这个替换代入求和式：
$$
\sum_{y=x}^{{\infty}\frac{1}{(y-x)!2}y} = \sum_{k=0}^{{\infty}\frac{1}{k!2}{k+x}}
$$

然后把常数项$\frac{1}{2^x}$提出来：
$$
\frac{1}{2^x}\sum_{k=0}{\infty}\frac{(1/2)^k}{k!}
$$

这时候回忆指数函数的泰勒展开公式：对于任意实数z，有
$$
e^z = \sum_{k=0}^{{\infty}\frac{z}k}{k!}
$$

这里我们取$z = 1/2$，所以上面的求和式就是$e^{1/2}$。

现在把这个结果代回X的边缘分布表达式里：
$$
P(X=x) = \frac{e^{-1}}{x!} \cdot \frac{1}{2^x} \cdot e^{1/2} = \frac{e^{-1/2}}{x!2x} = \frac{(1/2)^x e^{-1/2}}{x!}
$$

你看，这正好是参数为$\lambda=1/2$的泊松分布的概率质量函数哦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者userNoOne