关于半线性可逆F_q-线性映射g的循环性证明问询

大家好，我最近在研究有限域上的线性映射问题，碰到了一个卡住的点，想请教一下各位：

设$q$是素数幂，$t\in\mathbb{N}$，$\omega\in\mathbb{F}{q^t}*$。考虑$\mathbb{F}{q^{t}$上的可逆$\mathbb{F}_q$-线性映射$g:\mathbb{F}_{q}t}\to\mathbb{F}_{q^t}$，定义为：

g(x) = x^q \cdot \omega

这个映射同时也是$\mathbb{F}_{q^t}$-半线性的。

我想要证明的是：$g$作为$\text{GL}q(\mathbb{F}{q^{t})$中的元素是**循环的**——具体来说，就是存在某个$v\in\mathbb{F}_{q}t}^*$，使得${v, vg, vg^2, \dots, vg^{t-1}}$能构成$\mathbb{F}_q$-基。而根据线性代数的结论，这等价于$g$的极小多项式和特征多项式是相等的。

现在我既没找到能走通的证明路径，也没能构造出反例来否定这个结论，所以想请大家给我一些帮助、思路或者建议！（补充一下：$g^t$指的是$g$迭代$t$次的映射）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sina