如何使用分部积分法求解∫sin³(x)cos²(x)dx？

嘿，我懂你想搞明白怎么用分部积分法啃下这个积分——虽然换元法+三角恒等式确实更快捷，但分部积分完全可行，咱们一步步拆解，先聊聊你之前的卡点：你选的$u'=\cos x$、$v=\sin x$其实不太合适，这样会让式子变得更复杂，得调整一下分部积分的变量选择思路~

第一步：调整分部积分的变量设定 #

咱们换个更高效的变量选择方向：选$u$为能通过求导降幂的三角函数项，$dv$为容易直接积分的部分。这里咱们设定：

• $u = \cos^2(x)$
• $dv = \sin^3(x)dx$

先计算$v$：把$\sin^3x$拆成$\sin x(1-\cos^2x)$，积分可得：
$$v = \int \sin^3(x)dx = \int \sin(x)(1-\cos^2(x))dx = -\cos(x) + \frac{\cos^3(x)}{3} + C$$

再计算$du$：用链式法则求导：
$$du = 2\cos(x)(-\sin(x))dx = -2\sin(x)\cos(x)dx$$

套用分部积分公式 #

根据分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$，代入$u$、$v$、$du$：
$$
\begin{align*}
\int \sin^3(x)\cos2(x)dx &= \cos^2(x)\left(-\cos(x) + \frac{\cos^3(x)}{3}\right) - \int \left(-\cos(x) + \frac{\cos^3(x)}{3}\right)(-2\sin(x)\cos(x))dx \
&= -\cos^3(x) + \frac{\cos^5(x)}{3} - 2\int \left(\cos(x) - \frac{\cos^3(x)}{3}\right)\sin(x)\cos(x)dx \
&= -\cos^3(x) + \frac{\cos^5(x)}{3} - 2\int \sin(x)\cos^2(x)dx + \frac{2}{3}\int \sin(x)\cos^4(x)dx
\end{align*}
$$

处理剩余的积分项 #

现在需要分别计算$\int \sin(x)\cos^2(x)dx$和$\int \sin(x)\cos^4(x)dx$，还是用分部积分：

计算$\int \sin(x)\cos^2(x)dx$

设$u_1 = \cos^2(x)$，$dv_1 = \sin(x)dx$：

• $du_1 = -2\sin(x)\cos(x)dx$
• $v_1 = -\cos(x)$

套用公式后会出现循环积分，咱们移项求解：
$$
\begin{align*}
\int \sin(x)\cos^2(x)dx &= -\cos^3(x) - 2\int \sin(x)\cos^2(x)dx \
3\int \sin(x)\cos^2(x)dx &= -\cos^3(x) \
\int \sin(x)\cos^2(x)dx &= -\frac{\cos^3(x)}{3} + C
\end{align*}
$$

计算$\int \sin(x)\cos^4(x)dx$

同样设$u_2 = \cos^4(x)$，$dv_2 = \sin(x)dx$，移项求解：
$$
\begin{align*}
\int \sin(x)\cos^4(x)dx &= -\cos^5(x) - 4\int \sin(x)\cos^4(x)dx \
5\int \sin(x)\cos^4(x)dx &= -\cos^5(x) \
\int \sin(x)\cos^4(x)dx &= -\frac{\cos^5(x)}{5} + C
\end{align*}
$$

代入合并最终结果 #

把上面两个积分的结果代回原式，合并同类项：
$$
\begin{align*}
\int \sin^3(x)\cos2(x)dx &= -\cos^3(x) + \frac{\cos^5(x)}{3} - 2\left(-\frac{\cos^3(x)}{3}\right) + \frac{2}{3}\left(-\frac{\cos^5(x)}{5}\right) + C \
&= -\frac{\cos^3(x)}{3} + \frac{\cos^5(x)}{5} + C
\end{align*}
$$

验证一下导数，结果和原被积函数完全一致，说明解法正确。

总结一下：用分部积分法处理这类三角函数幂次积分时，关键是选对$u$和$dv$——优先让$u$是能通过求导降幂的项，$dv$是容易积分的部分，遇到循环积分时可以通过移项来求解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Trey