佐里奇《数学分析》P121求证：投影零测则有界n维集为n维零测

先从直观层面帮你拆解这个结论：

• 把n维测度想象成「体积」，(n-1)维测度对应「面积」（n=2时就是长度）。如果一个有界集合在超平面上的投影「面积」为0，说明这个集合在垂直于超平面的方向上分布得极其稀疏——比如平面上的一条曲线，它投影到x轴可能只是几个点（长度0），这条曲线的面积自然也是0；再比如3维空间里一张「薄到极致」的曲面，它在xy平面的投影面积为0，那它的体积也只能是0。

接下来是严谨的证明思路（贴合佐里奇教材的框架）：

已知：有界集 $E \subseteq \mathbb{R}^n$，设投影映射 $\pi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n-1}$，$\pi(x_1,x_2,\dots,x_n)=(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})$，且 $(n-1)$ 维勒贝格测度 $m_{n-1}(\pi(E))=0$。要证 $n$ 维测度 $m_n(E)=0$。

步骤1：利用有界性框定集合
因为 $E$ 是有界集，所以存在一个 $n$ 维闭区间 $I = I_1 \times I_2 \times \dots \times I_n$（每个 $I_k$ 是 $\mathbb{R}$ 上的闭区间），使得 $E \subseteq I$。记最后一个区间 $I_n$ 的长度为 $L$（显然 $L < +\infty$）。

步骤2：用测度为0的定义构造覆盖
根据 $(n-1)$ 维测度为0的定义：对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在可数个 $(n-1)$ 维闭区间 ${J_i}_{i=1}^\infty$，满足：

• $\pi(E) \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty J_i$
• $\sum_{i=1}^\infty m_{n-1}(J_i) < \frac{\varepsilon}{L}$

步骤3：构造n维覆盖并计算总测度
每个 $J_i$ 可以扩展成 $n$ 维闭区间 $J_i \times I_n$，显然 $E \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty (J_i \times I_n)$（任意 $x \in E$，$\pi(x)$ 必然属于某个 $J_i$，因此 $x \in J_i \times I_n$）。

计算这些n维区间的总测度：
$$
\sum_{i=1}^\infty m_n(J_i \times I_n) = \sum_{i=1}^\infty \left( m_{n-1}(J_i) \times m_1(I_n) \right) = L \times \sum_{i=1}^\infty m_{n-1}(J_i) < L \times \frac{\varepsilon}{L} = \varepsilon
$$

步骤4：得出结论
因为对于任意 $\varepsilon > 0$，都能找到可数个n维闭区间覆盖 $E$，且总测度小于 $\varepsilon$，根据n维勒贝格测度为0的定义，可知 $m_n(E)=0$。

额外补充：

• 题目中的「有界」条件是为了让 $I_n$ 的长度 $L$ 有限，这样我们才能通过缩放 $\varepsilon/L$ 凑出最终的总测度小于 $\varepsilon$。如果是无界集，我们可以把 $E$ 拆成可数个有界子集的并（比如 $E = \bigcup_{k=1}^\infty E \cap B_k$，其中 $B_k$ 是半径为k的闭球），每个子集的投影测度都是0，根据测度的可数可加性，总测度依然是0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Our