平面对偶电阻网络连接游戏是否遵循Hex/Nash无平局定理？

先把问题的核心要素再理清楚：

• 我们有一对平面对偶的红蓝电阻网络，各自带有两个终端节点；
• 相交的红蓝边电阻互为倒数，终端间的等效电阻也互为倒数；
• 游戏规则：两名玩家轮流选择一对相交边，保留己方颜色的边、删除对方的边，最终谁能用己方颜色的边连通自己的两个终端，谁就获胜。

核心疑问：这个游戏会不会像Hex/Nash连接游戏那样，必然分出胜负，不存在平局？

答案是：是的，这个游戏一定没有平局，必然有一名玩家获胜。原因可以从平面对偶的拓扑特性来推导：

1. 先拆解游戏本质：每一对相交的红蓝边是对偶边，玩家选择这对边时，相当于在自己的网络中“激活”这条边，同时在对方的对偶网络中“禁用”对应的那条边——本质上是双方在对偶的两个平面网络上，互相抢占连接资源、切断对方的连接可能。

2. 类比Hex游戏的无平局逻辑：Hex的核心是平面二分图的连接特性，不可能出现双方都不连通的情况。而这里的对偶网络正好契合这个拓扑性质：

   • 假设游戏结束后，蓝色玩家的两个终端没有连通，那在平面上必然存在一个割集（一组边），把蓝色的两个终端分隔在两个独立区域里；
   • 根据平面对偶的定义，这个割集对应的正好是红色网络中的一条连通路径——这条路径会直接连通红色的两个终端；
   • 反过来，如果红色玩家的终端不连通，那蓝色玩家的终端一定连通。

3. 关于初始的电阻对偶性质：虽然电阻互为倒数是背景设定，但游戏的胜负只和边的连通性有关，平面对偶的拓扑关系已经保证了“非此即彼”的连通结果，所以不可能出现两者都不连通的平局情况。

简单来说，这个游戏的拓扑结构就决定了，最终要么蓝色连通终端，要么红色连通终端，没有中间状态。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DVD