三角代换求解∫x²/√(4-x²)dx的计算错误排查

首先，咱们一步步拆解你的计算过程，核心问题出在降幂公式误用，连带后续积分展开也出现了错误：

1. 降幂公式记错了！ #

你在处理$\int4\sin^2\theta d\theta$时，错误地将$\sin^2\theta$写成了$\frac{\sin2\theta + 1}{2}$，但正确的三角降幂公式是：
$$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos2\theta}{2}$$
这个错误直接导致后续积分的方向完全偏离了正确轨道。

2. 基于错误公式的积分展开错误 #

咱们重新走一遍正确的计算流程：

• 先正确展开积分：
  $$4\int\sin^2\theta d\theta = 4\int\frac{1 - \cos2\theta}{2}d\theta = 2\int(1 - \cos2\theta)d\theta$$
• 拆分积分并换元计算：
  令$u=2\theta$，则$du=2d\theta$，$\int\cos2\theta d\theta = \frac{1}{2}\int\cos u du = \frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}\sin2\theta + C$
  代入后得到：
  $$2\left(\theta - \frac{1}{2}\sin2\theta\right) + C = 2\theta - \sin2\theta + C$$

3. 回代变量后的正确结果 #

把$\theta = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$代入，就得到和教材完全一致的答案：
$$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right) + C$$

另外补充一点：你最后一步展开4乘括号内的项时，也出现了系数错误（比如$4\times\left(-\frac{\cos u}{4}\right)$应该是$-\cos u$，而非你写的$-\frac{\cos u}{4}$），不过这是降幂公式错误引发的连锁问题，修正核心公式后这个问题自然就消失了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Trey