关于向量张成空间中不同向量解集合的线性代数疑问

嘿，很高兴你在梳理线性代数的基础概念！咱们一步步来拆解你的问题：

问题1：张成空间成员资格的等价性 #

你的第一个判断完全正确。根据张成空间（span）的定义：

向量集合 ${v_1,...,v_n}$ 的张成空间，就是所有可以表示为这组向量线性组合的向量构成的集合，即：
$$\text{span}{v_1,...,v_n} = \left{ \sum_{i=1}^n k_i v_i \mid k_1,...,k_n \in \mathbb{R} \right}$$

所以，$b_1 \in \text{span}{v_1,...,v_n}$ 等价于存在权重 $c_1,...,c_n$ 使得 $\sum_{i=1}^n c_i v_i = b_1$；同理 $b_2$ 属于该张成空间等价于存在 $d_1,...,d_n$ 满足对应的线性组合。把这两个结论合起来，就和你描述的命题完全等价。

问题2：不同 $b$ 对应的方程解是否无交集 #

这个结论也是成立的，我们可以用反证法简单推导：
假设存在一组权重 $(k_1,...,k_n)$ 同时是两个方程的解，即：
$$\sum_{i=1}^n k_i v_i = b_1 \quad \text{且} \quad \sum_{i=1}^n k_i v_i = b_2$$
根据等式的传递性，必然有 $b_1 = b_2$，这和题设的 $b_1 \neq b_2$ 矛盾。

换句话说，只要 $b_1$ 和 $b_2$ 是不同的向量，那么两个线性方程组的解集合就不可能有任何重叠的元素——毕竟同一组权重不可能同时生成两个不同的向量。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者john