推导双曲函数cosh(x)与sinh(x)时的积分问题咨询

嘿，我正在尝试结合图示推导双曲函数的定义，过程中遇到了点卡壳的地方，想请大家帮忙看看～

设定$a := \cosh u$，$b := \sinh u$，且$u = 2A$（这里的$A$对应双曲线下的面积，是双曲函数几何定义的核心量）。我最初推导得到：
$$2A = 2\int_{0}^b \sqrt{1+y^2} \ \mathrm{d}y = b\sqrt{b^2 + 1} + \log\left(b + \sqrt{b^2 + 1}\right)$$
基于$u=2A$的关系，我进一步推出：
$$\begin{align}
\cosh u &= \cosh\left(;b\sqrt{b^2 + 1} + \log\left(b + \sqrt{b^2 + 1}\right);\right) = \sqrt{b^2 + 1} \
\sinh u &= \sinh\left(;b\sqrt{b^2 + 1} + \log\left(b + \sqrt{b^2 + 1}\right);\right) = b
\end{align}$$

我的目标是用$b$表示$u$，进而推导出双曲函数的常规公式，但尝试后发现没法实现，怀疑是自己的推导步骤出了问题。想请教下后续该怎么推进？

另外我参考了某指南里的推导方法，注意到正确的积分表达式应该是$$2A = ...$$（原参考内容未给出完整正确积分式，暂时保留占位）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matheus Horácio