闭定向曲面$S_g$上$f(1,\cdot)$是否同伦于恒等映射的技术问询

嘿，这个问题挺有意思的——你猜的完全没错，答案确实是是，$f(1,\cdot)$一定同伦于$S_g$上的恒等映射。虽然你提到“一般分别连续的函数未必连续”这个点很关键，但在闭定向曲面这个特定场景下，我们能借助紧致空间的性质来严谨证明结论。

问题回顾 #

先明确一下问题中的核心设定：
设$S_g$是亏格$g\ge1$的闭定向曲面，映射$f:[0,1]\times S_g\rightarrow S_g$满足三个条件：

• 初始条件：对任意$x\in S_g$，$f(0,x)=x$；
• 截面连续性：对每个固定的$t\in[0,1]$，截面映射$f(t,\cdot):S_g\rightarrow S_g$是连续的；
• 路径连续性：对每个固定的$x\in S_g$，路径映射$f(\cdot,x):[0,1]\rightarrow S_g$是连续的（每个点都沿着连续路径移动）。

我们需要判断终点映射$f(1,\cdot)$是否同伦于恒等映射$\text{id}_{S_g}$。

关键思路：紧致空间的特殊性 #

你提到的“分别连续但不整体连续”的情况确实存在，但$S_g$是紧致Hausdorff空间（闭定向曲面天然是紧致且Hausdorff的），这一性质是突破口：对于从$[0,1]\times X$到$Y$的分别连续映射，当$X$是紧致Hausdorff空间时，我们可以构造出一个整体连续的同伦，将恒等映射和$f(1,\cdot)$连接起来。

严谨证明概要 #

因为$S_g$是紧致度量空间（闭定向曲面可以赋予黎曼度量，成为紧致度量空间），我们可以通过以下步骤构造连续同伦：

1. 利用紧致性取有限覆盖：
   对于每个$t\in[0,1]$，截面$f(t,\cdot)$连续，而$S_g$紧致，所以$f(t,\cdot)$是一致连续的。因此存在$\delta(t)>0$，当$|t'-t|<\delta(t)$时，$f(t',x)$与$f(t,x)$在$S_g$上的距离一致地很小。
   由于$[0,1]$是紧致的，我们可以取有限个分点$t_0=0<t_1<\dots<t_n=1$，使得每个区间$[t_i,t_{i+1}]$都包含在某个$(t-\delta(t),t+\delta(t))$内。
2. 拼接连续同伦：
   在每个子矩形$[t_i,t_{i+1}]\times S_g$上，定义$F(s,x)$为从$f(t_i,x)$到$f(t_{i+1},x)$的测地线路径（因为$S_g$是黎曼流形，任意两点间存在测地线），并且让$F(s,x)$随$s$线性变化。
   这样拼接出来的$F:[0,1]\times S_g\rightarrow S_g$是整体连续的，同时满足：
   • $F(0,x)=f(0,x)=x$（初始条件匹配）；
   • $F(1,x)=f(1,x)$（终点条件匹配）。

这个$F$就是从$\text{id}_{S_g}$到$f(1,\cdot)$的连续同伦，因此$f(1,\cdot)$同伦于恒等映射。

补充说明 #

你提到的“分别连续但不连续”的例子（比如$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y2}$在$(0,0)$处的情况）确实存在，但这类例子的定义域通常不满足“其中一个因子是紧致空间”的条件。而在我们的问题中，$S_g$的紧致性让我们能规避掉分别连续带来的不连续性问题，最终得到同伦的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user493456