补集像等式f(A^c)=f(A)^c：单射时及无单射时是否成立？

嘿，这个关于函数补集映射的问题，是集合论里很常见的疑惑，我来给你掰扯清楚～

1. 不限制单射条件时：等式普遍不成立 #

先给你举个最简单的反例：

• 设集合 ( X = {1, 2} )，( Y = {a} )，定义函数 f(1) = f(2) = a（这是个非单射的函数，因为两个不同的原像对应同一个像）
• 取X的子集 B = \{1\}，那么它的补集 B^c = \{2\}
• 计算两边：f(B^c) = f(\{2\}) = \{a\}，而 f(B)^c = \{a\}^c = \emptyset（这里的补集是相对于Y的）
• 显然 \{a\} ≠ \emptyset，等式直接不成立。

其实哪怕是“看起来正常”的函数，只要不是双射，都很容易找到反例。

2. 当f是单射（injective）时：等式仍不一定成立 #

单射只能保证“不同原像对应不同像”，但如果函数不是满射（即Y中存在元素没有原像），等式还是会不成立。举个例子：

• 设 ( X = {1, 2} )，( Y = {a, b, c} )，定义单射 f(1)=a，f(2)=b（每个原像对应唯一的像，符合单射定义）
• 取子集 B = \{1\}，补集 B^c = \{2\}
• 计算得：f(B^c) = \{b\}，而 f(B)^c = Y \setminus \{a\} = \{b, c\}
• 这里 \{b\} ≠ \{b, c\}，因为Y里的元素c不在f的像集里，导致f(B)^c包含了额外的元素c，等式自然不成立。

补充：什么时候等式才成立？ #

只有当f是双射（既是单射又是满射）的时候，等式 f(B^c) = f(B)^c 才对X的所有子集B都成立。因为满射保证了Y中的每个元素都有原像，单射保证原像唯一，这时候补集的映射才能完全对应上。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cokecokecoke