线性自同态幂零性证明问询：已知T^k=0，求证T^n=0

我最近卡在一道线性映射的证明题上了，题目是这样的：

设T是n维向量空间V上的线性自同态，已知存在正整数k使得T^k=0，求证T^n=0。

我自己找了个具体例子验证：比如V是由{1,x,x²}张成的向量空间，T是求导映射f'(x)，确实满足T^{dim_FV}=0，但就是摸不到通用证明的思路。目前我只学完了向量空间和线性映射这两章，还没接触矩阵、行列式这些内容，这题是线性映射章节的习题。

之前我看到过一个相关的解答，但里面有个不等式从≥变成>的步骤完全搞不懂，所以想请各位大佬给我一些不用矩阵/行列式的证明提示，谢谢啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者matchz