利用留数定理计算积分：判断极点是否在单位围道内

我来帮你理清这个困惑的点，咱们从已知条件出发一步步推导：

首先，你已经通过代换得到围道积分，并且求出极点表达式：
$$ z_{1,2} = -c \pm \sqrt{c^2 - 1} \quad (c = \frac{a}{b} > 1, \text{因为} \ a>b>0) $$

步骤1：利用韦达定理简化判断 #

观察分母二次多项式 $bz^2 + 2az + b$，根据韦达定理，两个极点满足：
$$ z_1 z_2 = \frac{b}{b} = 1 $$
这意味着 $z_2 = \frac{1}{z_1}$，所以只要判断其中一个极点的模长，就能直接得到另一个的模长：

• 如果 $|z_1| < 1$，则 $|z_2| = \frac{1}{|z_1|} > 1$（在围道外）
• 如果 $|z_1| > 1$，则 $|z_2| < 1$（在围道内）

步骤2：计算$z_1$的模长 #

取 $z_1 = -c + \sqrt{c^2 - 1}$，先对其进行有理化处理：
$$
\begin{align*}
c - \sqrt{c^2 - 1} &= \frac{(c - \sqrt{c^2 - 1})(c + \sqrt{c^2 - 1})}{c + \sqrt{c^2 - 1}} \
&= \frac{c^2 - (c^2 - 1)}{c + \sqrt{c^2 - 1}} \
&= \frac{1}{c + \sqrt{c^2 - 1}}
\end{align*}
$$
所以 $z_1 = - (c - \sqrt{c^2 - 1}) = -\frac{1}{c + \sqrt{c^2 - 1}}$，它的模长为：
$$ |z_1| = \frac{1}{c + \sqrt{c^2 - 1}} $$
因为 $c > 1$，所以 $c + \sqrt{c^2 - 1} > 1 + 0 = 1$，因此 $|z_1| < 1$，说明**$z_1$在单位围道$|z|=1$内**。

步骤3：判断$z_2$的位置 #

由韦达定理 $z_2 = \frac{1}{z_1}$，可得：
$$ |z_2| = \frac{1}{|z_1|} = c + \sqrt{c^2 - 1} > 1 $$
显然$|z_2| > 1$，所以**$z_2$在单位围道外**，不需要考虑它的留数。

补充：二阶极点的留数计算（可选） #

既然已经确定围道内只有$z_1$这个二阶极点，留数可以用二阶极点的公式计算：
对于二阶极点$z_0$，留数 $\text{Res}[f(z), z_0] = \lim_{z \to z_0} \frac{d}{dz} \left[ (z - z_0)^2 f(z) \right]$
代入你的被积函数 $f(z) = \frac{z}{(bz^2 + 2az + b)^2}$，注意到 $bz^2 + 2az + b = b(z - z_1)(z - z_2)$，所以：
$$
\text{Res}[f(z), z_1] = \lim_{z \to z_1} \frac{d}{dz} \left[ \frac{z}{b^2 (z - z_2)^2} \right]
$$
计算这个导数后，再代入$z_1 z_2 = 1$和$z_1$的表达式，最终可以得到积分结果为 $\frac{2\pi a}{(a^2 - b²⁾{3/2}}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者El Ruñó