求元素为1或2的2×2矩阵方程组Ax=b有唯一解的概率

嘿，这个问题不用枚举所有64种情况，咱们可以拆解成两个关键步骤来高效计算，思路非常清晰：

首先，线性方程组 (Ax = b) 在实数域上有唯一解的核心条件是：矩阵 (A) 可逆（即行列式不为0）。只要 (A) 可逆，无论 (b) 取什么值（1或2组成的2维向量），方程组都有且只有一个解。反过来，如果 (A) 不可逆，那么 (Ax = b) 要么无解，要么有无穷多解，都不属于“唯一解”的情况。

所以我们可以把问题拆成两部分计算：

• 计算可逆矩阵 (A) 的数量（元素仅为1或2的2×2矩阵）
• 结合 (b) 的可能取值数，算出总共有多少种 ((A,b)) 对满足唯一解，再除以总样本数64得到概率

步骤1：计算可逆矩阵 (A) 的数量 #

对于2×2矩阵 (A = \begin{pmatrix}a & b \ c & d\end{pmatrix})，行列式为 (det(A) = ad - bc)。可逆的充要条件是 (det(A) \neq 0)，也就是 (ad \neq bc)。

我们可以先算所有可能的 (A) 的总数，再减去行列式为0的 (A) 的数量：

• 总矩阵数：每个元素2种选择，共 (2^4 = 16) 个
• 行列式为0的矩阵数（即 (ad = bc)）：
  • 先看 (ad) 的可能取值：
    • (ad=1)：仅当 (a=1,d=1)，共1种 ((a,d)) 组合
    • (ad=2)：当 ((a,d)=(1,2)) 或 ((2,1))，共2种组合
    • (ad=4)：仅当 (a=2,d=2)，共1种组合
  • 同理，(bc) 的取值组合和 (ad) 完全一致：
    • (bc=1)：仅1种 ((b,c)) 组合
    • (bc=2)：共2种组合
    • (bc=4)：仅1种组合
  • 满足 (ad=bc) 的矩阵数：
    • (ad=1) 且 (bc=1)：(1×1=1) 个
    • (ad=2) 且 (bc=2)：(2×2=4) 个
    • (ad=4) 且 (bc=4)：(1×1=1) 个
  • 行列式为0的矩阵总数：(1+4+1=6) 个

因此，可逆矩阵的数量为 (16 - 6 = 10) 个。

步骤2：计算唯一解的概率 #

• 每个可逆矩阵 (A)，对应任意 (b)（共 (2^2=4) 种可能的向量）都有唯一解，所以满足条件的 ((A,b)) 对总数为 (10×4=40)
• 总样本数是64（16种矩阵×4种向量）
• 最终概率为：(\frac{40}{64} = \frac{5}{8} = 0.625)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jose Garia