二重积分换元求解咨询：∫₀¹∫₀¹4xy√(x²+y²)dydx

嘿，别担心！这个二重积分其实不用纠结复杂的三角换元——咱们用**凑微分（变量代换）**的方法会简单很多，而且我会一步步讲，保证你能跟上～

为什么不推荐用三角换元？ #

你提到的三角换元（比如极坐标）更适合圆形、扇形这类“对称”的积分区域，但咱们的积分区域是单位正方形（x和y都从0到1），用极坐标的话积分限会拆成两部分（θ从0到π/4和π/4到π/2），计算起来反而麻烦。另外你担心的“微分变成dθdθ”是误解哦，极坐标下的面积元素是r dr dθ，不是两个dθ相乘，不过咱们这次确实用不上它～

一步步计算：凑微分法 #

先把积分写清楚：
$$\int^{1}_{0}\int{1}_{0}4xy\sqrt{x^2+y2} dy , dx$$

第一步：计算内层积分（对y积分，x看作常数） #

内层积分是：$\int^{{1}_{0}4xy\sqrt{x}2+y^2} dy$

1. 把和y无关的常数提出来：因为对y积分，x是固定值，所以$4x$可以提到积分外面，变成：
   $4x \int^{1}_{0} y\sqrt{x^2+y2} dy$

2. 凑微分：观察根号里的$x^2+y2$，它对y求导是$2y$，也就是$d(x^2+y2) = 2y dy$，所以$y dy = \frac{1}{2}d(x^2+y2)$。把这个代入积分：
   $4x \times \frac{1}{2} \int^{1}{0} \sqrt{x^2+y2} , d(x^2+y2)$
   简化后就是：$2x \int^{1}{0} (x^2+y2)^{\frac{1}{2}} , d(x^2+y2)$

3. 用幂函数积分公式：对于$\int u^n du$，结果是$\frac{u^{n+1}}{n+1} + C$（这里$n=\frac{1}{2}$）。代入后得到：
   $2x \times \left[ \frac{2}{3}(x^2+y2)^{\frac{3}{2}} \right]_{y=0}^{y=1}$

4. 代入上下限：把y=1和y=0分别代入，相减：
   $2x \times \frac{2}{3} \left[ (x²⁺¹⁾{\frac{3}{2}} - (x²⁺⁰⁾{\frac{3}{2}} \right]$
   化简后：$\frac{4x}{3} \left[ (x²⁺¹⁾{\frac{3}{2}} - x^3 \right]$

第二步：计算外层积分（对x积分） #

现在把内层积分的结果代入，外层积分变成：
$$\int^{1}_{0} \frac{4x}{3} \left[ (x²⁺¹⁾{\frac{3}{2}} - x^3 \right] dx$$

1. 拆分积分并提常数：把$\frac{4}{3}$提出来，积分拆成两部分：
   $\frac{4}{3} \left( \int^{1}{0} x(x²⁺¹⁾{\frac{3}{2}} dx - \int^{1}{0} x^4 dx \right)$

2. 计算第一个积分$\int^{1}{0} x(x²⁺¹⁾{\frac{3}{2}} dx$：
   还是用凑微分！$d(x^2+1)=2x dx$，所以$x dx = \frac{1}{2}d(x^2+1)$，代入后：
   $\frac{1}{2} \int^{1}{0} (x²⁺¹⁾{\frac{3}{2}} d(x^2+1)$
   用幂函数公式（$n=\frac{3}{2}$），结果是：
   $\frac{1}{2} \times \left[ \frac{2}{5}(x²⁺¹⁾{\frac{5}{2}} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5} \left[ (1+1)^{\frac{5}{2}} - (0+1)^{\frac{5}{2}} \right]$
   计算数值：$\frac{1}{5}(4\sqrt{2} - 1)$（因为$2^{{\frac{5}{2}}=2}2 \times 2^{\frac{1}{2}}=4\sqrt{2}$）

3. 计算第二个积分$\int^{1}{0} x^4 dx$：
   直接用幂函数公式，结果是$\left[ \frac{1}{5}x^5 \right]{0}^{1} = \frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5}$

4. 合并结果：
   把两个积分的结果代入外层积分：
   $\frac{4}{3} \left( \frac{4\sqrt{2}-1}{5} - \frac{1}{5} \right) = \frac{4}{3} \times \frac{4\sqrt{2}-2}{5}$
   继续化简：$\frac{4}{3} \times \frac{2(2\sqrt{2}-1)}{5} = \frac{8(2\sqrt{2}-1)}{15} = \frac{16\sqrt{2}-8}{15}$

最终结果 #

这个二重积分的结果是$\frac{16\sqrt{2}-8}{15}$，或者也可以写成$\frac{8(2\sqrt{2}-1)}{15}$，两种形式都对～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aleksandr Hovhannisyan