求五次多项式$f(x)=x^5+x^3-2x+1$的实根个数
咱们一步步来拆解这个问题：
基础趋势判断
作为多项式函数，$f(x)$在全体实数域上连续。当$x\to-\infty$时，最高次项$x^5$主导趋势，$f(x)\to-\infty$；当$x\to+\infty$时，$f(x)\to+\infty$。根据介值定理，函数至少存在一个实根。求导找驻点，划分单调区间
先计算$f(x)$的一阶导数：
$$f'(x)=5x4+3x2-2$$
令$f'(x)=0$，设$t=x^2$（$t\geq0$），方程转化为二次方程：
$$5t^2+3t-2=0$$
用求根公式解得：
$$t=\frac{-3\pm\sqrt{3^2+4\times5\times2}}{2\times5}=\frac{-3\pm7}{10}$$
因为$t\geq0$，所以取正根$t=\frac{2}{5}$，对应原函数的驻点为$x=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}$。这两个驻点把实数域分成三个单调区间：
- $(-\infty, -\sqrt{\frac{2}{5}})$：$x^2>\frac{2}{5}$，代入导数得$f'(x)>0$，函数单调递增
- $(-\sqrt{\frac{2}{5}}, \sqrt{\frac{2}{5}})$：$x^2<\frac{2}{5}$，$f'(x)<0$，函数单调递减
- $(\sqrt{\frac{2}{5}}, +\infty)$：$x^2>\frac{2}{5}$，$f'(x)>0$，函数单调递增
逐个区间分析实根存在性
区间$(-\infty, -\sqrt{\frac{2}{5}})$：
函数从$-\infty$单调递增到$f\left(-\sqrt{\frac{2}{5}}\right)$，代入计算该值：
$$
\begin{align*}
f\left(-\sqrt{\frac{2}{5}}\right)&=\left(-\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^5 + \left(-\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^3 -2\times\left(-\sqrt{\frac{2}{5}}\right)+1\
&=-\left(\frac{2}{5}\right)^{5/2} - \left(\frac{2}{5}\right)^{3/2} + 2\sqrt{\frac{2}{5}} +1\
&=\sqrt{\frac{2}{5}}\left(-\frac{4}{5}-\frac{2}{5}+2\right)+1\
&=\sqrt{\frac{2}{5}}\times\frac{4}{5}+1
\end{align*}
$$
显然结果为正数，函数从负无穷上升到正数，必然与x轴相交一次，存在1个实根。区间$(-\sqrt{\frac{2}{5}}, \sqrt{\frac{2}{5}})$：
函数从正数$f\left(-\sqrt{\frac{2}{5}}\right)$单调递减到$f\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right)$，计算后者：
$$
\begin{align*}
f\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right)&=\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^5 + \left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^3 -2\times\sqrt{\frac{2}{5}}+1\
&=\left(\frac{2}{5}\right)^{5/2} + \left(\frac{2}{5}\right)^{3/2} -2\sqrt{\frac{2}{5}} +1\
&=\sqrt{\frac{2}{5}}\left(\frac{4}{5}+\frac{2}{5}-2\right)+1\
&=-\sqrt{\frac{2}{5}}\times\frac{4}{5}+1
\end{align*}
$$
代入数值估算：$\sqrt{\frac{2}{5}}\approx0.632$，$0.632\times\frac{4}{5}\approx0.506$，所以$f\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right)\approx1-0.506=0.494>0$。整个区间函数值始终为正，没有实根。区间$(\sqrt{\frac{2}{5}}, +\infty)$：
函数从正数$f\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right)$单调递增到$+\infty$，全程函数值都大于0，没有实根。
最终结论
综合所有区间的分析，该五次多项式$f(x)=x5+x3-2x+1$仅有1个实根。
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