读Hatcher代数拓扑书：群自由积同态$G*H o G imes H$相关疑问

嘿，咱们来一步步拆解你的两个问题，都是代数拓扑里自由积相关的经典疑问，很值得理清～

1. 关于Hatcher书中“满同态”vs“单同态”的判断 #

你的这个判断是不正确的，核心原因是你对自由积和直积的“规模”理解反了：

• 自由积$GH$的“规模”其实远大于直积$G \times H$（除非G或H是平凡群）。举个直观例子：如果$G=H=\mathbb{Z}$（整数加法群），$GH$是两个无限循环群的自由积，它是一个非交换群，包含无数个形如$g_1h_1g_2h_2\cdots g_nh_n$的“字”（其中$g_i\in\mathbb{Z},h_i\in\mathbb{Z}$，且相邻元素不在同一个群里），这些字大多不能简化为更短的形式；而$G\times H=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$是交换群，每个元素都是有序对$(a,b)$，结构上比自由积简单得多。
• 那个自然映射$\varphi: GH \to G \times H$（把每个字映射到G中元素的乘积和H中元素的乘积，比如$g_1h_1g_2 \mapsto (g_1g_2, h_1)$）确实是满同态：对任意$(g,h)\in G\times H$，你可以取$GH$中的元素$gh$，它在$\varphi$下的像就是$(g,h)$，所以直积里的每个元素都能被打到，满足满同态的定义。
• 它绝对不是单同态，因为映射的核是非平凡的：比如换位子$ghg^{-1}h{-1}$（$g\in G,h\in H$且都不是单位元）在$\varphi$下的像为$(gg^{-1}, hh^{-1})=(e_G,e_H)$，但这个换位子在$G*H$中不是单位元，说明存在非平凡元素被映射到单位元，因此不是单射。

所以Hatcher书中写的“满同态”是正确的，不需要改成“单同态”。

2. 映射$GH \to G \times H$是否为包含同态？能否将$GH$视为$G \times H$的子群？ #

这两个问题的答案都是否定的：

• 包含同态要求目标群中存在一个子群与源群同构，且映射是这个子群的嵌入。但只要G和H都是非平凡群，$G*H$就是非交换群（比如刚才的换位子$ghg^{-1}h{-1}\neq e$），而如果G和H是交换群，$G\times H$也是交换群——非交换群不可能是交换群的子群，结构上就不兼容。
• 刚才已经说了，这个映射不是单射（核里有非平凡元素），所以它根本不是单同态，自然不可能是包含同态。
• 只有当G或H是平凡群时（比如$H={e}$），$G*H=G$，此时映射$G\to G\times{e}$是单同态，也可以视为包含同态，但这是极端特例，不具有一般性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ma Joad