如何寻找多个多项式的公共二次因式？求解指定多项式的公共二次因式

通用思路 #

找多个多项式的公共二次因式，常用这两种实用方法：

• 因式分解枚举法：先把每个多项式尽可能分解成低次因式的乘积，再从分解结果里筛选所有多项式共有的二次因式（可能是不可约的二次式，也可能是两个一次因式的乘积）。
• 辗转相除+验证法：
  1. 先取其中两个多项式，用辗转相除法求出它们的最大公因式（GCD）；
  2. 从这个GCD里提取所有二次因式（如果GCD次数≥2）；
  3. 把候选二次因式代入剩余多项式，验证是否能整除，能整除的就是公共二次因式。

另外，结合有理根定理先找公共一次因式，再将其组合成二次因式，在很多场景下会更高效。

针对给定多项式的求解过程 #

我们来处理你给出的三个多项式：$f(x)=x^4-13x2+36$、$g(x)=2x^3+3x2-11x-6$、$h(x)=3x^3+x2-20x+12$。

步骤1：分解第一个多项式$f(x)$

$f(x)$是双二次多项式，令$y=x^2$，则：

f(x) = y² -13y +36 = (y-4)(y-9) = (x²-4)(x²-9) = (x-2)(x+2)(x-3)(x+3)

它的一次因式为$(x-2),(x+2),(x-3),(x+3)$，潜在的二次因式是这些一次因式的两两乘积。

步骤2：分解第二个多项式$g(x)$

用有理根定理试根，发现$x=2$是$g(x)$的根（代入计算：$28+34-11*2-6=0$），因此$(x-2)$是因式，通过多项式除法分解得：

g(x) = (x-2)(2x²+7x+3) = (x-2)(2x+1)(x+3)

它的一次因式为$(x-2),(2x+1),(x+3)$。

步骤3：筛选$f(x)$与$g(x)$的公共因式

对比两者的因式，公共一次因式是$(x-2)$和$(x+3)$，它们的乘积就是候选二次因式：
$$(x-2)(x+3)=x²+x-6$$

步骤4：验证该二次因式是否整除第三个多项式$h(x)$

将$h(x)=3x³+x²-20x+12$除以$x²+x-6$：

• 计算$3x*(x²+x-6)=3x³+3x²-18x$；
• 用$h(x)$减去该结果：$(3x³+x²-20x+12)-(3x³+3x²-18x)=-2x²-2x+12$；
• 再计算$-2*(x²+x-6)=-2x²-2x+12$，与上面的差完全相等，余数为0。

因此$x²+x-6$能整除$h(x)$，是三个多项式的公共二次因式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user482320