非恰当混合分布的精确采样方法探究

咱们先回顾一下经典的混合分布采样思路：假设要从连续分布$p(x)$中采样，当$p$可以表示为无穷混合形式：
$$p(x) = \sum_{i=1}^\infty a_i f_i(x)$$
其中每个$a_i \geqslant 0$、$\sum_i a_i= 1$，且每个$f_i$都是易于采样的分布时，我们可以通过两步生成$p$的样本：

• 以概率$a_i$采样标签$i$
• 再从分布$f_i$中采样得到$X$

现在我好奇的是：当$a_i$偶尔为负值时，这个采样流程还能进行推广吗？ 我之前在文献或者Kolmogorov分布相关的研究中见过类似的方法，所以接受以参考文献形式给出的答案。如果需要具体示例来展开讨论的话，可以考虑从以下分布中采样：
$$p(x,y) \propto \exp(-x-y-\alpha\sqrt{xy})\qquad x,y > 0$$
这里$\alpha \in (0, 2)$（存在技术层面的限制原因）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者πr8