Rudin《实分析与复分析》中Plancherel公式的推导问询

没错，Plancherel公式确实是傅里叶变换作为$L^2(\mathbb{R})$到自身等距同构这一结论的直接推论，完全契合Rudin《实分析与复分析》里的简洁逻辑，不需要依赖那种繁琐的直接计算路径。下面就一步步拆解推导过程：

已知前提回顾 #

首先明确已经证明的核心结论：

• 傅里叶变换$\mathcal{F}: f \mapsto \hat{f}$是$L^2(\mathbb{R})$（配备Lebesgue测度）上的线性等距同构，即满足三点：
  1. 线性性：$\mathcal{F}(af+bg) = a\hat{f} + b\hat{g}$对任意$f,g \in L^2(\mathbb{R})$和复数$a,b$成立；
  2. 等距性：$|\hat{f}|{L^2} = |f|{L^2}$对所有$f \in L^{2(\mathbb{R})$成立，其中范数由内积诱导：$|f|}2 = \langle f,f \rangle = \int_{\mathbb{R}} f(x)\overline{f(x)} dx$；
  3. 同构性：$\mathcal{F}$是双射（满射+单射）。

核心推导：利用极化恒等式 #

你提到的“等距同构保持内积”是关键，但我们不需要直接调用酉算子的进阶结论，用复数域Hilbert空间的极化恒等式就能直接完成推导：

复数域上的极化恒等式是：
$$\langle f, g \rangle = \frac{1}{4}\left( |f+g|^2 - |f-g|^2 + i|f+ig|^2 - i|f-ig|^2 \right)$$

因为$\mathcal{F}$是线性且等距的，所以对任意$f,g \in L^2(\mathbb{R})$，有：

• $|\mathcal{F}(f+g)|^2 = |f+g|^2$，而线性性又给出$\mathcal{F}(f+g) = \hat{f} + \hat{g}$，因此$|\hat{f}+\hat{g}|^2 = |f+g|^2$；
• 同理可得：$|\hat{f}-\hat{g}|^2 = |f-g|^{2$，$|\hat{f}+i\hat{g}|}2 = |f+ig|^{2$，$|\hat{f}-i\hat{g}|}2 = |f-ig|^2$。

把这些代入$\langle \hat{f}, \hat{g} \rangle$的极化恒等式展开式：
$$
\begin{align*}
\langle \hat{f}, \hat{g} \rangle &= \frac{1}{4}\left( |\hat{f}+\hat{g}|^2 - |\hat{f}-\hat{g}|^2 + i|\hat{f}+i\hat{g}|^2 - i|\hat{f}-i\hat{g}|^2 \right) \
&= \frac{1}{4}\left( |\mathcal{F}(f+g)|^2 - |\mathcal{F}(f-g)|^2 + i|\mathcal{F}(f+ig)|^2 - i|\mathcal{F}(f-ig)|^2 \right) \
&= \frac{1}{4}\left( |f+g|^2 - |f-g|^2 + i|f+ig|^2 - i|f-ig|^2 \right) \
&= \langle f, g \rangle
\end{align*}
$$

而这就是Plancherel公式的核心表述：
$$\int_{\mathbb{R}} f(x)\overline{g(x)} dx = \int_{\mathbb{R}} \hat{f}(\xi)\overline{\hat{g}(\xi)} d\xi$$

为什么Rudin直接陈述？ #

Rudin之所以没给出这个推导，是因为在Hilbert空间的框架下，双射的线性等距算子（即酉算子）必然保持内积是一个标准结论。对于熟悉Hilbert空间基本性质的读者，从等距同构到内积保持的推导是水到渠成的，不需要额外展开——这完全符合这本书追求简洁、依赖已有理论框架的风格，避免了重复基础结论的证明。

而你提到的那种繁琐的直接计算，是在还没建立等距同构结论时的“从头开始”证明路径，和Rudin这里已经铺垫好等距同构后的情境完全不同。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matematleta