数论问询：求可表示为$a^b$的指定数字排列的最小b值

先明确问题的核心前提：我们要讨论的数是由1个1、2个2、…、9个9组成的排列，总位数是 (1+2+\dots+9=45) 位。首先计算它的数字和：

1² + 2² + 3² + … + 9² = 1+4+9+16+25+36+49+64+81 = 285

这个数字和模9的结果是 (285 \div 9 = 31) 余6，也就是说，任何这样的排列组成的数都必然≡6 mod9。

接下来我们只需要分析：对于自然数 (a,b)，(a^b) 能否≡6 mod9？分三种情况逐一讨论：

• 情况1：(a) 是9的倍数（即 (a≡0 mod9)）
  此时 (a^b≡0 mod9)，显然不可能等于6 mod9，直接排除。

• 情况2：(a) 是3的倍数但不是9的倍数（即 (a≡3或6 mod9)）

  • 当 (b=1) 时，(a≡3或6 mod9)，存在等于6 mod9的可能，但此时 (a) 就是这个45位排列本身，属于非常基础的情况（任何数都是自身的1次方）；
  • 当 (b≥2) 时，(a^2≡0 mod9)，因此 (a^b=(a2) \times a^{b-2}≡0 mod9)，同样无法得到6 mod9，直接排除。

• 情况3：(a) 不是3的倍数（即 (a) 与9互质）
  根据欧拉定理，(\varphi(9)=6)，所以 (a^6≡1 mod9)，也就是说 (a^b) mod9的结果以6为周期循环。我们枚举所有可能的余数（1,2,4,5,7,8）的幂次：

  • (a≡1 mod9)：(a^b≡1b=1 mod9)，永远≠6；
  • (a≡2 mod9)：幂次结果依次是2,4,8,7,5,1循环，无6；
  • (a≡4 mod9)：幂次结果依次是4,7,1循环，无6；
  • (a≡5 mod9)：幂次结果依次是5,7,8,4,2,1循环，无6；
  • (a≡7 mod9)：幂次结果依次是7,4,1循环，无6；
  • (a≡8 mod9)：幂次结果依次是8,1循环，无6；

结论 #

所有 (b≥2) 的情况下，(a^b) 都不可能≡6 mod9，而我们的排列数必然≡6 mod9，因此不存在这样的排列可以表示为 (a^b)（(b≥2)）的形式。如果允许 (b=1)，那任何排列都是满足条件的，但这显然不是问题想要的非平凡解。

你之前尝试到13次方都没找到符合条件的，本质是因为从b=2开始，所有可能的幂次结果模9都不可能等于6，这个结论是通用的，不管b多大都成立，不需要继续尝试更高次幂了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rohan Shinde