R³中点到直线的距离求解咨询及投影方法疑问

嘿，你已经把直线的向量形式和参数方程写对啦！这是很棒的起点～ 我来帮你理清三维里点到直线距离的正确解法，顺便解决你对投影操作的困惑：

方法一：叉积公式（最直接） #

点到直线的距离本质上是点与直线上任意一点的连线向量，在垂直于直线方向上的分量长度，用叉积可以直接计算，公式是：
$$
\text{距离} = \frac{|\vec{AB} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}
$$
步骤拆解：

1. 计算向量$\vec{AB}$：用点B的坐标减去点A的坐标
   $$
   \vec{AB} = B - A = (1 - (-1), 1 - 1, 1 - 2) = (2, 0, -1)
   $$
2. 计算$\vec{AB}$与方向向量$\vec{d}=(1,0,1)$的叉积：
   三维叉积可以通过行列式计算：

   i  j  k
   2  0 -1
   1  0  1
   

   展开后得到：
   $$
   \vec{AB} \times \vec{d} = (01 - (-1)0, - (21 - (-1)1), 20 - 01) = (0, -3, 0)
   $$
3. 计算叉积的模长：
   $$
   |\vec{AB} \times \vec{d}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 0^2} = 3
   $$
4. 计算方向向量$\vec{d}$的模长：
   $$
   |\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}
   $$
5. 代入公式得到距离：
   $$
   \text{距离} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
   $$

方法二：投影向量法（解决你的投影困惑） #

你提到的投影思路是对的，但不是投影到直线的位置向量$\boldsymbol{x}$，而是投影到直线的方向向量$\boldsymbol{d}$，具体步骤：

1. 先计算$\vec{AB}$在$\vec{d}$上的投影向量：
   投影公式是：
   $$
   \text{proj}_{\vec{d}} \vec{AB} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|^2} \cdot \vec{d}
   $$
   • 先算点积$\vec{AB} \cdot \vec{d} = 21 + 00 + (-1)*1 = 1$
   • $|\vec{d}|^2 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2$
   • 所以投影向量为：$\frac{1}{2}*(1,0,1) = (0.5, 0, 0.5)$
2. 计算$\vec{AB}$减去投影向量的差向量（这个向量就是垂直于直线的分量）：
   $$
   \vec{AB} - \text{proj}_{\vec{d}} \vec{AB} = (2-0.5, 0-0, -1-0.5) = (1.5, 0, -1.5)
   $$
3. 求这个差向量的模长，就是点到直线的距离：
   $$
   \sqrt{1.5^2 + 0^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{4.5} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
   $$

为什么你之前的思路有困惑？ #

你提到想投影到直线的参数向量$\boldsymbol{x}$，但$\boldsymbol{x}$是直线上点的位置向量（从原点出发到直线上点的向量），而我们需要的是向量$\vec{AB}$在直线方向上的投影，核心是关注方向向量$\boldsymbol{d}$，而不是直线上点的位置向量，这是关键区别哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kyle Hobbs