$\mathbb R[x]/(x^2-2)$ 是否等于 $\mathbb R$？商环分析相关疑问

嘿，咱们一步步来拆解你的问题，从Artin《Algebra》里的商环例子延伸到你关注的$\mathbb{R}[x]/(x^2-2)$情况：

1. $\mathbb{R}[x]/(x^2-2)$能否写成$\mathbb{R}[x]/((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}))$？ #

当然可以！因为理想$(x^{2-2)$和$((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}))$在$\mathbb{R}[x]$中完全是同一个理想——毕竟$x}2-2$和$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$是同一个多项式，生成的理想自然等价。

不过这里可以补充一个关键的结构差异：Artin的例子里，$(i-2)$是$\mathbb{Z}[i]$中的素理想，所以商环是域；而在$\mathbb{R}[x]$中，$x^2-2$可约，对应的理想是两个极大理想$(x-\sqrt{2})$和$(x+\sqrt{2})$的乘积。根据中国剩余定理，我们可以进一步分解这个商环：
$$\mathbb{R}[x]/((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})) \cong \mathbb{R}[x]/(x-\sqrt{2}) \times \mathbb{R}[x]/(x+\sqrt{2}) \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$$
也就是说这个商环是两个实数域的直积，而非单个域。

2. $\mathbb{R}[x]/(x^2-2)$是否等于$\mathbb{R}[\sqrt{2}]$，进而等于$\mathbb{R}$？ #

这里需要区分集合形式和环结构的差异：

• 从集合上看，$\mathbb{R}[x]/(x^2-2)$的元素都可以写成$a + b\overline{x}$（其中$a,b \in \mathbb{R}$，$\overline{x}$是$x$在商环中的像，满足$\overline{x}^2=2$），这和$\mathbb{R}[\sqrt{2}]$的集合形式一致。但$\mathbb{R}[\sqrt{2}]$作为$\mathbb{R}$的子环，确实等于$\mathbb{R}$——因为$\sqrt{2}$本身就是实数。
• 但从环同构的角度，$\mathbb{R}[x]/(x^2-2)$和$\mathbb{R}$并不同构，而是和$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$同构（刚才的结论）。

为什么会有这个看似矛盾的点？因为你提到的“典范映射$\mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}[x]/(x^2-2)$满足$x \mapsto \sqrt{2}$”其实是混淆了两种映射：你说的是$\mathbb{R}[x]$到$\mathbb{R}$的同态（把$x$映射到$\sqrt{2}$），而商环$\mathbb{R}[x]/(x^2-2)$本身包含两个这样的同态（另一个是把$\overline{x}$映射到$-\sqrt{2}$），这对应直积$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$的两个投影。$\mathbb{R}[\sqrt{2}]$只是其中一个同态的像，而非整个商环的结构。

举个直观的例子：$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$中有元素$(1,0)$，它满足$(1,0) \cdot (0,1) = 0$（非平凡零因子），但$\mathbb{R}$是域，不存在非平凡的零因子，所以这两个环不可能同构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user5826