已知正实数x≥y≥z满足指定不等式，求x/z最小值及推导疑问

嘿，你的推导思路完全没问题，咱们接着往下拆解就行！

因为 (x,y,z \in \mathbb{R}^+) 且 (x \geq y \geq z)，先看第二个因子 (x - y + z + \sqrt{xz})：

• (x - y \geq 0)（毕竟 (x \geq y)），再加上正数 (z) 和 (\sqrt{xz})，这个因子肯定是正的。

既然乘积 ((A)(B) \geq 0) 且 (B>0)，那直接等价于第一个因子 (A \geq 0)，也就是：
[x - y + z - 2\sqrt{xz} \geq 0]

把左边的 (x + z - 2\sqrt{xz}) 凑成完全平方，你会发现：
[(\sqrt{x} - \sqrt{z})^2 \geq y]

结合题目里的 (y \geq z)，我们可以得到一个关键的连锁不等式：
[(\sqrt{x} - \sqrt{z})^2 \geq y \geq z]

设 (t = \frac{x}{z})（因为 (x \geq z > 0)，所以 (t \geq 1)），那么 (x = tz)。把它代入上面的核心不等式：
[(\sqrt{tz} - \sqrt{z})^2 \geq z]

提取 (\sqrt{z}) 化简后：
[z(\sqrt{t} - 1)^2 \geq z]

两边除以正数 (z)，得到：
[(\sqrt{t} - 1)^2 \geq 1]

因为 (t \geq 1)，所以 (\sqrt{t} - 1 \geq 0)，直接开方解得：
[\sqrt{t} - 1 \geq 1 \implies \sqrt{t} \geq 2 \implies t \geq 4]

当 (t=4) 时，(x=4z)，此时连锁不等式的等号需要同时成立：((\sqrt{x}-\sqrt{z})^2 = y = z)。代入 (x=4z)，计算得 ((2\sqrt{z}-\sqrt{z})^2 = z)，也就是 (y=z)。

把 (x=4z)、(y=z) 代入原不等式验证：
[x^2 + y^2 + z^2 = 16z^2 + z^2 + z^2 = 18z^2]
[2xy + 2xz + 2yz = 2 \cdot 4z \cdot z + 2 \cdot 4z \cdot z + 2 \cdot z \cdot z = 8z^2 + 8z^2 + 2z^2 = 18z^2]

两边完全相等，满足原不等式，同时 (x \geq y \geq z) 的条件也成立。

所以最终 (\min\left(\frac{x}{z}\right) = 4)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fricul38