求满足a⁻¹ba≠b的群G及元素a,b∈G的示例与方法

没问题，我来给你举个直观的例子，再聊聊怎么找这类满足条件的群和元素～

对称群S₃是由1、2、3这三个元素的所有置换构成的群，它一共有6个元素：恒等置换（不改变任何元素位置）、三个对换（交换两个元素）、两个3-循环（把三个元素循环移位）。

咱选a=(1 2)（交换1和2的对换），b=(1 3)（交换1和3的对换）：

• 对换的逆置换就是它自己，所以a⁻¹=(1 2)。
• 计算a⁻¹ba：根据置换共轭的性质，共轭置换会把原置换里的元素替换成a作用后的结果——a把1变成2，3保持不变，所以b=(1 3)经过a共轭后就变成(2 3)，显然(2 3)≠(1 3)，也就是a⁻¹ba≠b，完美满足条件。

要是你想手动算置换复合也没问题：从右往左算(1 2)(1 3)(1 2)，最终结果也是(2 3)，确实不等于b。

核心思路很简单：必须找非交换群，因为交换群里所有元素都满足ab=ba，自然a⁻¹ba=b，肯定不符合要求。具体可以这么找：

• 从常见非交换群入手：
  • 对称群Sₙ：只要n≥3，Sₙ都是非交换的。随便选两个不同的对换（比如(1 2)和(1 3)），它们的共轭结果一定是另一个对换，和原元素不等。
  • 二面体群Dₙ：比如正n边形的对称群（n≥3），选一个旋转元素和一个反射元素，它们的共轭通常也不相等。比如正三角形的对称群D₃，旋转120度的元素r，反射元素s，s⁻¹rs=r²≠r，满足条件。
  • 矩阵群：比如二阶可逆实矩阵群GL₂(ℝ)，选a=[[0,1],[1,0]]（交换两行的矩阵），b=[[1,1],[0,1]]（上三角矩阵），计算a⁻¹ba的结果是[[1,0],[1,1]]，明显不等于b，符合要求。
• 快速验证小技巧：如果两个元素a、b满足ab≠ba，那必然有a⁻¹ba≠b（反之也成立）。因为假设a⁻¹ba=b，两边左乘a就能推出ba=ab，和ab≠ba矛盾。所以找不交换的元素就行，不用特意算共轭。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Oscar Alarcon