整除与最大公约数性质证明疑问：c<d时的推导步骤求助
首先纠正你推导里的一个小误区：你提到“进而得出 $d\geq c$”，这个结论不准确，更关键的性质是所有整除 $a$ 和 $b$ 的公约数都能整除它们的最大公约数 $d$，也就是 $c \mid d$，这意味着 $d$ 是 $c$ 的倍数，$\frac{d}{c}$ 是整数，这是整个证明的核心前提，你之前没用到这个点，才会卡在 $c<d$ 的情况。
下面给你两种清晰的证明方法，不需要分情况讨论：
方法一：利用互质性推导
已知 $d = \gcd(a,b)$，根据最大公约数的基本性质，我们可以把 $a$ 和 $b$ 表示为：
- $a = d \cdot x$
- $b = d \cdot y$
其中 $\gcd(x,y) = 1$（把 $a,b$ 除以最大公约数后，得到的两个数互质）。
因为题目中 $c \mid a$ 且 $c \mid b$，结合上面的表达式，$c$ 必然整除 $d$（因为 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的线性组合，比如存在整数 $s,t$ 使得 $d = a \cdot s + b \cdot t$，如果 $c$ 整除 $a$ 和 $b$，就一定整除它们的线性组合 $d$），所以可以设 $d = c \cdot m$（$m$ 是整数）。
代入 $a,b$ 的表达式：
- $a = c \cdot m \cdot x$，因此 $\frac{a}{c} = m \cdot x$
- $b = c \cdot m \cdot y$，因此 $\frac{b}{c} = m \cdot y$
现在要证 $\gcd\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right) = m = \frac{d}{c}$，根据 $\gcd$ 的运算性质：
$$\gcd(mx, my) = m \cdot \gcd(x,y)$$
因为 $\gcd(x,y)=1$，所以 $\gcd(mx, my)=m$，直接得证。
方法二：用最大公约数的定义验证
我们可以从“公约数”和“最大”两个维度来证明：
证明 $\frac{d}{c}$ 是 $\frac{a}{c}$ 和 $\frac{b}{c}$ 的公约数
因为 $d = \gcd(a,b)$，所以 $d \mid a$ 且 $d \mid b$，即存在整数 $k_1,k_2$ 使得 $a = dk_1$，$b=dk_2$。
那么 $\frac{a}{c} = \frac{d}{c} \cdot k_1$，$\frac{b}{c} = \frac{d}{c} \cdot k_2$，显然 $\frac{d}{c}$ 能整除这两个数，是它们的公约数。证明 $\frac{d}{c}$ 是最大的公约数
假设存在一个整数 $t$，$t$ 是 $\frac{a}{c}$ 和 $\frac{b}{c}$ 的公约数，那么 $t \mid \frac{a}{c}$ 且 $t \mid \frac{b}{c}$，这意味着 $c \cdot t \mid a$ 且 $c \cdot t \mid b$。
也就是说 $c \cdot t$ 是 $a$ 和 $b$ 的公约数，而 $d$ 是 $a,b$ 的最大公约数，所以 $c \cdot t \leq d$，即 $t \leq \frac{d}{c}$。
这说明没有比 $\frac{d}{c}$ 更大的公约数，因此它就是最大公约数。
这样两种方法都能完整证明结论，不需要分 $d=c$ 或 $c<d$ 的情况，核心是抓住“$c \mid d$”这个关键性质。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Polsop
