证明L¹(ℝ)上满足特定条件的范数与通常范数等价

给定L¹(ℝ)上的范数||·||'，使得L¹(ℝ)关于该范数仍为Banach空间，且若序列{fₙ}按||·||'收敛于f，则对任意t，∫₋∞ᵗfₙ(s)ds收敛于∫₋∞ᵗf(s)ds。需要证明该范数与L¹(ℝ)上的通常范数等价。

我最开始的思路有个小错误，不过调整一下就能走通，具体过程如下：

初步观察与修正错误猜想 #

首先定义线性泛函φₜ(x) = ∫₋∞ᵗx(s)ds，根据题设的收敛性条件，当{xₙ}按||·||'收敛于x时，对任意t都有φₜ(xₙ) → φₜ(x)，这直接说明每个φₜ都是关于||·||'连续的线性泛函。

我一开始错以为supₜ|φₜ(x)| = ||x||₁（||·||₁是L¹的通常范数），但这个猜想不成立——比如取x(s) = χ_{[0,1]}(s) - χ_{[1,2]}(s)，此时supₜ|φₜ(x)| = 1，但||x||₁ = 2，显然两者不等。不过这个方向其实可以调整，不用纠结于等于，转而用算子的思路来做。

用一致有界原理建立第一个不等式 #

我们构造一个线性算子T: (L¹(ℝ), ||·||') → (B(ℝ), ||·||_∞)，其中B(ℝ)是ℝ上全体有界连续函数构成的Banach空间，||·||_∞是上确界范数，算子T的定义是T(x)(t) = ∫_{-∞}^t x(s)ds。

根据题设条件，当xₙ按||·||'收敛到x时，T(xₙ)在ℝ上逐点收敛到T(x)。现在两个空间都是Banach空间，根据一致有界原理（共鸣定理），这个逐点收敛的线性算子T一定是有界的，也就是说存在常数C > 0，使得对所有x ∈ L¹(ℝ)，都有：

||T(x)||_∞ ≤ C||x||'

也就是supₜ|∫_{-∞}^t x(s)ds| ≤ C||x||'。

接下来，注意到L¹范数可以表示为||x||₁ = lim_{t→+∞} ∫_{-∞}^t x(s)ds - lim_{t→-∞} ∫_{-∞}^t x(s)ds，而这两个极限的绝对值都不超过||T(x)||_∞，所以：

||x||₁ ≤ |lim_{t→+∞} T(x)(t)| + |lim_{t→-∞} T(x)(t)| ≤ 2||T(x)||_∞ ≤ 2C||x||'

这样就得到了||x||₁ ≤ C'||x||'（这里C'=2C），也就是通常范数被||·||'控制。

用逆算子定理完成等价性证明 #

我们知道(L¹(ℝ), ||·||₁)和(L¹(ℝ), ||·||')都是Banach空间，现在考虑恒等算子I: (L¹(ℝ), ||·||') → (L¹(ℝ), ||·||₁)，刚才的不等式说明I是有界线性算子。根据逆算子定理，Banach空间之间的有界双射线性算子的逆算子也是有界的，所以I的逆算子（也就是从(L¹(ℝ), ||·||₁)到(L¹(ℝ), ||·||')的恒等算子）也有界，即存在常数D > 0，使得：

||x||' ≤ D||x||₁

把两个不等式结合起来，就有(1/D)||x||₁ ≤ ||x||' ≤ C'||x||₁，这就证明了||·||'和通常的L¹范数等价。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Invincible