判断函数$f(x)=(x+1)|x^2-1|$在x=1和x=-1处的可导性

我需要判断函数$$f(x)=(x+1)|x^2-1|$$在点$x=1$和$x=-1$处的可导性。我的求解思路如下：
将函数写为分段形式：
$$f(x)=\begin{cases} x^3-x+x2-1 & \text{ if } x\leq-1,x\geq1 \ x-x^3+1-x2 & \text{ if } -1<x<1 \end{cases}$$
求导后得到：
$$f'(x)=\begin{cases} 3x^2-1+2x & \text{ if } x\leq-1,x\geq1 \ 1-3x^2-2x & \text{ if } -1<x<1 \end{cases}$$
我认为该导数在$x=-1$处连续，在$x=1$处不连续，因此函数在$x=-1$和$x=1$处均可导。请问我的推导是否正确？答案手册未提供对应答案，我对此存疑。

你的推导分析与修正 #

首先得说，你写的分段函数和分段导数的表达式都是正确的，但判断可导性的逻辑有点问题——不能直接用导数是否连续来判断函数在分段点是否可导。函数在某点可导的核心条件是：该点的左右导数存在且相等，导数连续是更强的结论（可导不一定导数连续，但导数连续一定可导）。咱们分别计算两个点的左右导数来验证：

1. $x=-1$处的可导性 #

• 左导数（$x\to-1^{-$）：此时用$x\leq-1$的导数表达式，代入$x=-1$得：$3(-1)}2 + 2(-1) -1 = 3-2-1=0$
• 右导数（$x\to-1^{+$）：此时用$-1<x<1$的导数表达式，代入$x=-1$得：$-3(-1)}2 -2(-1)+1=-3+2+1=0$

左右导数相等（都是0），所以函数在$x=-1$处可导，且$f'(-1)=0$。你这里的结论是对的，而且凑巧导数在$x=-1$处确实连续，但核心依据应该是左右导数相等，而非导数连续。

2. $x=1$处的可导性 #

• 左导数（$x\to1^{-$）：用$-1<x<1$的导数表达式，代入$x=1$得：$-3(1)}2 -2(1)+1=-3-2+1=-4$
• 右导数（$x\to1^{+$）：用$x\geq1$的导数表达式，代入$x=1$得：$3(1)}2 +2(1)-1=3+2-1=4$

左右导数分别是-4和4，明显不相等，所以函数在$x=1$处不可导！你之前误以为导数不连续但函数可导，这是混淆了条件——只有当左右导数存在且相等时，函数才在该点可导，这里左右导数不等，不管导数是否连续，函数都不可导。

最终结论 #

• 函数在$x=-1$处可导，导数为0；
• 函数在$x=1$处不可导。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者userNoOne