两线性系统解存在性定理是否等价（仅符号表述差异）？

设$A$为$m\times n$矩阵，先明确两个定理的具体内容：

定理一 #

以下两个系统恰有一个存在解：

• 1. $Ax>0$（存在向量$x\in\mathbb{R}^n$，使得$Ax$的所有分量严格大于0）
• 2. $A^ty=0,\ y\ge 0,\ y\neq 0$（存在非零的非负向量$y\in\mathbb{R}^m$，满足$A$的转置与$y$的乘积为零向量）

定理二 #

以下两个系统恰有一个存在解：

• 1. 存在$y\in\mathbb{R}^n$使得$yTA>0$（存在向量$y\in\mathbb{R}^{n$，使得$y}TA$的所有分量严格大于0）
• 2. 存在非零$x\in\mathbb{R}^m$使得$Ax=0,\ x\ge 0$（存在非零的非负向量$x\in\mathbb{R}^m$，满足$A$与$x$的乘积为零向量）

结论：两个定理本质等价，仅为表述形式差异 #

这两个定理其实是同一类择一定理（Farkas引理）的不同表述，通过简单的转置操作和变量替换就能互相推导：

我们拿定理二来做变换：
令$B = A^T$（此时$B$是$n\times m$矩阵，对应定理一中$A$的维度），把定理二的内容用$B$重新表述：

以下两个系统恰有一个存在解：

1. 存在$y\in\mathbb{R}^n$使得$yTB>0$
2. 存在非零$x\in\mathbb{R}^m$使得$Bx=0,\ x\ge 0$

现在对比这个变换后的定理二和定理一：

• 变换后的定理二条件1：$y^{TB>0$，等价于$(B}ty)^T>0$，而向量转置的分量严格大于0和原向量分量严格大于0是完全等价的，所以这就对应定理一的条件1（只是把变量名从$x$换成了$y$）
• 变换后的定理二条件2：$Bx=0,\ x\ge0,\ x\neq0$，正好对应定理一的条件2（同样只是变量名替换）

反过来，对定理一做同样的转置和变量替换操作，也能得到定理二的原始形式。

说白了，两者只是把矩阵转置了一下，同时换了变量名称，核心逻辑都是：要么存在一个严格正的解满足线性系统，要么存在一个非零非负的对偶向量使得系统正交，这两种情况不可能同时成立，也不可能同时不成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user441848