已知4阶复矩阵A的约束条件，计算$A^{80}$

问题背景 #

给定4阶复矩阵$A \in \mathbb{C}_{4\times4}$，满足以下四个条件：

• 1. 矩阵的迹$trace(A) = 0$；
• 2. 行列式$|A-iI| = 0$；
• 3. 矩阵$A-I$的秩为3，即$rank(A-I) = 3$；
• 4. 存在非零向量$v$，使得$Av=-v$。

需要计算$A^{80}$。

提问者的尝试与疑问 #

由条件2可知$i$是$A$的特征值；由条件3可知1是$A$的特征值；结合条件1和4可知-1、-i也是特征值。因此$A$可对角化，即$A = PDP^{-1}$，其中$D = diag(1,-1,i,-i)$。请问能否直接得出$A^{80} = diag(1, 1, -1 ,1)$？是否需要用到$P$和$P^{-1}$？

解答与纠正 #

首先要肯定你的特征值推导完全正确：

• 条件2直接说明$i$是$A$的特征值；
• 条件3中，$rank(A-I)=3$意味着齐次方程$(A-I)x=0$的解空间维数是$4-3=1$，即特征值1的几何重数为1，结合后续迹的条件可以确定它的代数重数也是1；
• 条件4明确-1是$A$的特征值；
• 因为迹等于所有特征值的和，已知三个特征值的和是$1 + (-1) + i = i$，而$trace(A)=0$，所以第四个特征值必须是$-i$，才能让总和为0。

由于这四个特征值互不相同，所以$A$确实可以对角化，即存在可逆矩阵$P$，使得$A = PDP^{-1}$，其中$D = diag(1,-1,i,-i)$。

接下来回答你的两个疑问：

1. 关于$A^{80}$的结果：你之前的结论有误，我们来重新计算对角矩阵$D$的80次幂：

   • $1^{80} = 1$（任何正整数次幂下1的结果都是1）；
   • $(-1)^{80} = 1$（80是偶数，负数的偶次幂为正）；
   • $i^{80} = (i⁴⁾{20} = 1^{20} = 1$（$i$的幂次周期为4，$i^4=1$，80是4的整数倍）；
   • $(-i)^{80} = [(-i)^4]{20} = 1^{20} = 1$（同理，$(-i)^4=1$）；
     所以$D^{80} = diag(1,1,1,1) = I$（单位矩阵）。

2. **是否需要用到$P$和$P^{{-1}$**：不需要直接展开计算$P$和$P}{-1}$，因为根据矩阵对角化的幂运算性质：
   A^n = PD^nP^{-1}
   当$D^{80}=I$时，代入得：
   $A^{80} = PIP^{-1} = PP^{-1} = I$
   不管$P$是什么可逆矩阵，最终结果都是单位矩阵，所以完全不需要具体求出$P$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yariv Levy