一阶逻辑中σ结构ℳ到𝒩的同态存在性判定问题

首先得明确σ-结构同态的核心要求：如果存在映射 ( h: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{R} )，它必须同时满足三个条件：

• 关系保持：对任意 ( a \in \mathbb{N}_0 )，若 ( a \in \varphi(R) )（即 ( a=8k+3 )，k为非负自然数），则 ( h(a) \in \psi(R) )（也就是 ( h(a) > 9 )）；
• 函数保持：对任意 ( x,y \in \mathbb{N}_0 )，( h(\varphi(f)(x,y)) = \psi(f)(h(x),h(y)) )，换算成具体表达式就是 ( h(x+2y) = h(x)(1+h(y)) )；
• 常元保持：( h(\varphi(c)) = \psi(c) )，也就是 ( h(1)=2 )。

接下来我们一步步推导，看看能不能找到符合所有要求的h：

1. 确定h(0)的值：
   取x=0、y=0，此时 ( \varphi(f)(0,0)=0+2*0=0 )，代入函数保持条件：
   ( h(0) = h(\varphi(f)(0,0)) = \psi(f)(h(0),h(0)) = h(0) + h(0)*h(0) )
   整理等式可得 ( h(0)^2 = 0 )，所以 ( h(0)=0 )。

2. 计算h(2)的值：
   取x=0、y=1，此时 ( \varphi(f)(0,1)=0+21=2 )，代入函数保持条件：
   ( h(2) = \psi(f)(h(0),h(1)) = 0 + 02 = 0 )。

3. 关键矛盾点：h(3)的冲突：
   首先，3属于 ( \varphi(R) )（因为3=80+3），根据关系保持要求，必须有 ( h(3) > 9 )。
   但我们可以用函数表达式计算h(3)：3可以写成 ( 1+21 )，也就是 ( \varphi(f)(1,1)=3 )，代入函数保持条件：
   ( h(3) = \psi(f)(h(1),h(1)) = 2 + 2*2 = 6 )。
   这里直接出现矛盾：6并不大于9，完全不满足关系保持的要求。

由此可以得出结论：不存在从σ-结构ℳ到σ-结构𝒩的同态。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user15269