如何证明函数f(x)=-2x在[a,b]上的上下黎曼积分相等？

首先，我们明确核心依据：有界函数在闭区间$[a,b]$上可积当且仅当其下黎曼积分与上黎曼积分相等。而$f(x) = -2x$是线性函数，在闭区间$[a,b]$上显然连续（因此有界），完全符合这个定理的适用条件。接下来我们一步步推导下、上黎曼积分相等：

步骤1：分析$f(x)$在子区间上的上下确界 #

$f(x) = -2x$是严格单调递减函数（导数$f'(x) = -2 < 0$），因此对于任意分割$P = {x_0=a, x_1, x_2,...,x_n=b}$，每个子区间$[x_{i-1}, x_i]$上：

• 下确界$m_i = f(x_i) = -2x_i$（单调递减，右端点取到最小值）
• 上确界$M_i = f(x_{i-1}) = -2x_{i-1}$（单调递减，左端点取到最大值）

步骤2：写出下黎曼和$s(P)$与上黎曼和$S(P)$ #

根据定义：

• 下黎曼和：
  $$s(P) = \sum_{i=1}^n m_i (x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n (-2x_i)(x_i - x_{i-1})$$
• 上黎曼和：
  $$S(P) = \sum_{i=1}^n M_i (x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n (-2x_{i-1})(x_i - x_{i-1})$$

步骤3：计算上、下和的差，证明其可任意小 #

我们计算$S(P) - s(P)$：
$$
\begin{align*}
S(P) - s(P) &= \sum_{i=1}^n \left[ -2x_{i-1} - (-2x_i) \right](x_i - x_{i-1}) \
&= 2\sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})(x_i - x_{i-1}) \
&= 2\sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})^2
\end{align*}
$$

设分割$P$的模（即所有子区间的最大长度）为$|P|$，则对每个$i$，$(x_i - x_{i-1}) \leq |P|$，因此：
$$
S(P) - s(P) \leq 2|P| \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) = 2|P|(b - a)
$$

对于任意给定的$\epsilon > 0$，取$\delta = \frac{\epsilon}{2(b - a)}$，当$|P| < \delta$时：
$$
S(P) - s(P) < 2 \cdot \frac{\epsilon}{2(b - a)} \cdot (b - a) = \epsilon
$$

步骤4：推导下、上黎曼积分相等 #

根据下黎曼积分的定义$\underline{\int_a^b} f = \sup{s(P)}$，上黎曼积分$\overline{\int_a^b} f = \inf{S(P)}$，显然有：
$$
\overline{\int_a^b} f - \underline{\int_a^b} f \leq S(P) - s(P)
$$

由于$S(P)-s(P)$可以小于任意正数$\epsilon$，因此只能有$\overline{\int_a^b} f = \underline{\int_a^b} f$。

综上，$f(x) = -2x$在$[a,b]$上满足可积的充要条件，故$f$在$[a,b]$上可积。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sesodesa