Guillemin和Pollack中局部坐标系困惑及子流形相关问题求证

我现在正试着吃透下面这个拓扑流形相关的问题：

设$x_1, \dots, x_N$为$\mathbb{R}^{N$上的标准坐标函数，$X$是$\mathbb{R}}N$的$k$维子流形。证明$X$中每一点$x$都存在一个邻域，使得某$k$个坐标函数$x_{i_1}, \dots, x_{i_k}$的限制在该邻域上构成局部坐标系。

但我一直对局部坐标系、局部坐标这类核心术语感到困惑。Guillemin和Pollack在他们的书中给出了明确的定义：

若$\phi: U\rightarrow V$是流形$X$中点$x$附近的一个参数化（即微分同胚），将$\phi^{{-1}$写成坐标形式$\phi}{-1}=(x_1,\dots, x_k)$，则$x_1,\dots, x_k$即为局部坐标。

举个具体的例子，若$X=\mathbb R^2_{x > 0}$（也就是平面上的右半区域），考虑如下参数化...

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