求证p∈(0,∞]时p↦||X||ₚ非递减及相关方法疑问

嘿，这个问题其实不用绕截断随机变量的路子，直接用Jensen不等式或者Holder不等式就能轻松搞定，咱们一步步来拆解：

1. 先处理0 < p < q < ∞的情况 #

首先回忆Lₚ范数的定义：||X||ₚ = (E[|X|ᵖ])^(1/p)，其中E[·]表示随机变量的期望。

因为q > p > 0，所以q/p > 1，而函数f(t) = t^(q/p)是凸函数（二阶导数恒正）。对随机变量Z = |X|ᵖ应用Jensen不等式（凸函数的期望≥期望的凸函数值）：

E[f(Z)] ≥ f(E[Z])

代入f(t)和Z的表达式，就能得到：
E[|X|ᵠ] ≥ (E[|X|ᵖ])^(q/p)

两边同时开1/q次方整理后：
(E[|X|ᵠ])^(1/q) ≥ (E[|X|ᵖ])^(1/p)
也就是||X||_q ≥ ||X||_p，这就证明了当0 < p < q < ∞时，范数随p增大而不减。

2. 再衔接p→∞的情况 #

我们需要证明lim_{q→∞} ||X||_q = ||X||_∞，其中||X||_∞是X的本质上确界（即几乎处处有|X| ≤ ||X||_∞，且对任意ε>0，P(|X| > ||X||_∞ - ε) > 0）。

• 先证limsup_{q→∞} ||X||_q ≤ ||X||_∞：
  因为|X| ≤ ||X||_∞几乎处处成立，所以E[|X|ᵠ] ≤ E[||X||_∞^q] = ||X||_∞^q，两边开q次方得||X||_q ≤ ||X||_∞，因此上极限不超过||X||_∞。

• 再证liminf_{q→∞} ||X||_q ≥ ||X||_∞：
  对任意ε>0，由本质上确界的定义，P(|X| > ||X||_∞ - ε) = δ > 0。那么：
  E[|X|ᵠ] ≥ (||X||_∞ - ε)^q · δ
  两边开q次方得||X||_q ≥ (||X||_∞ - ε) · δ^(1/q)。当q→∞时，δ^(1/q) → 1（因为δ∈(0,1]），所以下极限≥||X||_∞ - ε。由于ε是任意小的正数，因此下极限≥||X||_∞。

结合上下极限的结论，lim_{q→∞} ||X||_q = ||X||_∞，这说明当p趋近于∞时，范数收敛到L∞范数，自然满足非递减性。

关于你之前的截断思路 #

你提到的Yₙ = sup{Y | Y ≤ X 且 |Y| ≤ n}其实是有界随机变量的逼近，但其实对有界随机变量，同样可以用上面的Jensen不等式证明其Lₚ范数的非递减性，不过这个路子绕了远路——直接对原随机变量用凸函数的性质，反而更直接高效。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者FTem