判断分布$f(x\mid \theta)=\theta x^{\theta-1}$的$\sum_{i=1}^n x_i$是否为充分统计量

最近我在处理统计推断问题时遇到了困惑，具体场景是：

设$x_1,\dots,x_n$是来自概率密度函数为$f(x\mid \theta)=\theta x^{{\theta-1}\mathbf1_{0<x<1},,\theta>0$的分布的随机样本，现在需要判断$\sum_{i=1}}n x_i$是否为充分统计量。

同学的做法是通过因子分解定理证明了$\prod_{i=1}^n x_i$是充分统计量，随后直接得出$\sum_{i=1}^n x_i$不是充分统计量的结论。但我记得充分统计量可以有多个，所以这个推导逻辑显然站不住脚。

现在我有几个具体的疑问：

• 我知道要证明$\sum_{i=1}^n x_i$不是充分统计量，一种思路是证明它无法表示为最小充分统计量的函数，但这个过程看起来过于复杂，有没有更简便的方法？
• 考虑用充分统计量的定义来证明，却不知道该如何计算条件密度$f(x\mid \sum_{i=1}^n x_i,\theta)$，这个思路是不是本身就走不通？
• 能不能直接用因子分解定理来证明$\sum_{i=1}^n x_i$不是充分统计量？如果可以的话，具体该怎么操作？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者grace