求证Γ ≡ Γ ∖ {P | ⊨ P}：命题集等价性证明疑问

你的困惑非常典型，核心是没完全吃透公式集逻辑等价的定义，以及重言式在模型论里的特殊作用。咱们一步步拆解清楚：

先明确关键定义 #

首先，两个公式集Γ₁和Γ₂等价（记为Γ₁≡Γ₂），当且仅当：

对所有的结构（或赋值）𝔐，𝔐满足Γ₁ 当且仅当 𝔐满足Γ₂

换句话说，等价的公式集拥有完全相同的模型集合——这是判断等价的唯一标准，和集合的元素数量、外在形式无关。

重言式的核心性质 #

重言式（即⊨P的公式）的定义是：在所有结构下都为真。不管你给变量赋什么值，重言式永远成立，它不会给公式集添加任何额外约束。

证明Γ ≡ Γ ∖ {P | ⊨ P} #

设T = {P | ⊨ P}（所有重言式的集合），我们分两步完成证明：

• 第一步：如果𝔐 ⊨ Γ，那么𝔐 ⊨ Γ∖T
  Γ∖T是Γ的子集，满足整个Γ的结构自然满足它的所有子集，这一步非常直观。
• 第二步：如果𝔐 ⊨ Γ∖T，那么𝔐 ⊨ Γ
  Γ中的公式要么属于Γ∖T（已经被𝔐满足），要么属于T（重言式，天生被所有结构满足，包括𝔐）。所以Γ里的每一个公式都被𝔐满足，即𝔐 ⊨ Γ。

两步结合，就证明了Γ和Γ∖T的模型完全相同，因此它们等价。

你的例子：为什么{¬A∨A} ≡ ∅成立？ #

你觉得这个等式不成立，是因为直观上觉得“单个公式”和“空集”不一样，但从模型论的角度看：

• {¬A∨A}的模型：所有结构（因为它是重言式，任何赋值都满足它）
• ∅的模型：所有结构（空集没有公式需要满足，默认所有结构都“满足”空集）

两者的模型集合完全一致，所以它们是等价的！这和你直观感受冲突，是因为你混淆了“集合本身的形式”和“集合的逻辑语义”——逻辑等价只看语义（模型），不看集合的外在形式。

纠正你之前的一个误解 #

你提到“Γ的所有子集Γ'⊆Γ模型相同”，这是不对的。比如Γ={A, A→B}，它的子集{A}的模型是所有满足A的结构，而Γ的模型是同时满足A和B的结构，显然模型集合不同。但移除重言式的子集是特例，因为重言式不添加约束，所以移除后模型不变。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yulia23576