求指导：结合链式法则与乘积法则的求导化简问题

Hey Neamus，别着急，咱们一步步来梳理这个问题。首先，先帮你锚定乘积法则的核心逻辑：如果要求导的函数是 $u(x) \cdot v(x)$，那么它的导数是 $u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$——这一步是很多人容易漏项的关键点，你可以先自查下是不是这里出了问题。

你提到链式法则部分已经顺利完成，那咱们聚焦到你出错的化简环节。你给出的错误结果是 $2\sin2x\cdot e^x\sin x$，大概率是展开乘积项时漏了其中一部分，或是三角函数恒等式用错了。我拿这类题型里最典型的例子给你拆解（你可以对应自己的原函数调整）：

举个示例推导（假设原函数为 $f(x) = e^x \cdot \sin^2x$） #

1. 链式法则求三角函数部分导数：令 $u=\sin x$，则 $\frac{d}{dx}(\sin^2x) = \frac{d}{dx}(u^2) = 2u \cdot u' = 2\sin x \cos x = \sin2x$，这部分你应该已经做对了。
2. 应用乘积法则展开：
   $f'(x) = (e^x)' \cdot \sin^2x + e^x \cdot (\sin^2x)'$
   代入已算出的导数项：
   $f'(x) = e^x \sin^2x + e^x \cdot \sin2x$
3. 正确化简步骤：
   先提取公因子 $e^x$，得到：
   $f'(x) = e^x(\sin2x + \sin2x)$
   要是需要进一步整理，还可以用 $\sin2x=2\sin x\cos x$ 拆分，得到：
   $f'(x) = e^x \sin x(\sin x + 2\cos x)$

自查方向 #

你可以对照自己的推导过程，检查这几个关键点：

• 有没有漏写乘积法则中的某一项？比如只算了 $u'(x)v(x)$ 或者只算了 $u(x)v'(x)$？
• 三角函数化简时，是不是错误合并了项？比如把 $2\sin x\cos x$ 和 $\sin x$ 相乘后，误删了原本应该保留的其他项？
• 如果原函数是三个因子的乘积（比如 $e^x \cdot \sin x \cdot \cos x$），有没有用对多因子乘积法则：$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$？

要是能补充下你的原函数和中间推导步骤，我可以更精准地帮你定位错误~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Neamus