正实数向量空间数乘分配律证明困惑与解惑

我之前碰到这么个问题：设$V$是所有正实数构成的集合，定义它的向量加法为普通乘法，数乘运算则是$a \times v = v^a$，参考答案说这是个向量空间，但我一开始死活证不出数乘分配律公理$a(v+w) = av + aw$。

一开始我犯了个低级错误——直接把这个公理按常规的加法和乘法理解，写成了：
$$(v+w)^a = v^a + w^a$$
这式子显然不可能对所有正实数$v,w$都成立啊，我盯着这个式子想半天，完全找不到能让它恒成立的依据，当时还纳闷是不是哪里漏了关键条件。

后来突然反应过来！这里的向量加法符号“+”是自定义的，不是咱们平时说的实数加法！题目里明确说了向量加法是普通乘法，所以公理里的$v+w$实际代表的是$v$和$w$做向量加法，也就是普通乘法$vw$；而右边的$av + aw$里的“+”同样是向量加法，也就是$av$和$aw$做普通乘法。

把这个替换进去之后，数乘分配律公理就变成了：
$$(vw)^a = v^a \cdot w^a$$
这不就是咱们学过的指数运算法则嘛！对任意正实数$v,w$和实数$a$都成立，瞬间就把问题解决了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AFC