定义$T:\mathbb{Z}_{12}\longrightarrow\mathbb{Z}_{12}$，求$\mathbb{Z}_{12}$的内自同构个数及解法疑问

嘿，你的推导完全正确！交换群的内自同构群确实是平凡的（只有1个元素），咱们一步步理清楚：

• $\mathbb{Z}{12}$是循环群，而循环群必然是交换群，所以它的中心$Z(\mathbb{Z}{12})$就是群本身$\mathbb{Z}_{12}$
• 根据群论里的经典结论，内自同构群 $Inn(G)$同构于$G/Z(G)$，代入后显然$|\mathbb{Z}{12}/\mathbb{Z}{12}|=1$，所以内自同构只有恒等映射这一个。

那为什么书本给的答案是6呢？十有八九是你把内自同构群和自同构群搞混了——6其实是$\mathbb{Z}{12}$的自同构群 $Aut(\mathbb{Z}{12})$的阶数，而不是内自同构群的阶数。

补充一下自同构群的计算逻辑：
循环群$\mathbb{Z}_n$的自同构群和模n的乘法群$\mathbb{Z}_n^*$（所有与n互素的剩余类构成的乘法群）是同构的，它的阶数就是欧拉函数$\varphi(n)$。
对于$n=12$，计算欧拉函数：$\varphi(12)=\varphi(2^2 \times 3)=12 \times (1-\frac{1}{2}) \times (1-\frac{1}{3})=6$，这正好对应书本给出的数值。

所以结论很明确：

• 你算的内自同构个数1是对的
• 书本答案6对应的是自同构群的元素个数，应该是题目表述或者你理解时出现了偏差~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mohan Sharma