关于矩阵等式ABC=I推导B=A⁻¹C⁻¹的步骤疑问

嘿，我来帮你揪出推导里的问题～你的核心错误出在对矩阵乘法的交换律误解上，咱们一步步拆解：

你的错误点 #

你把等式 ABC = I 直接变形为 (AC)B = I，这是完全不成立的！因为矩阵乘法不满足交换律——一般情况下 AB ≠ BA，所以你不能随意调换A和B的位置，把ABC硬凑成ACB（进而写成(AC)B），这是违反矩阵运算规则的。

虽然你后面的步骤(AC)⁻¹ = C⁻¹A⁻¹是对的，但前提的变形错了，自然得不到正确结论。

正确的推导步骤 #

已知矩阵A、C可逆，且ABC = I，我们可以通过左乘/右乘逆矩阵的方式逐步解出B：

1. 给等式两边左乘A的逆矩阵A⁻¹（A可逆，所以A⁻¹存在）：

   A⁻¹(ABC) = A⁻¹I
   

   根据矩阵乘法的结合律(XY)Z = X(YZ)，左边可化简为：

   (A⁻¹A)BC = I·BC = BC
   

   右边A⁻¹I = A⁻¹，于是得到：

   BC = A⁻¹
   

2. 再给上面的等式两边右乘C的逆矩阵C⁻¹（C可逆，所以C⁻¹存在）：

   BC·C⁻¹ = A⁻¹C⁻¹
   

   左边同样用结合律化简：

   B(CC⁻¹) = B·I = B
   

   右边就是A⁻¹C⁻¹，最终得到：

   B = A⁻¹C⁻¹
   

这样就完美得到了要证明的结论啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Swam