R⁴上算子S是否可逆？基于T满足T³+3T²=4I的推导疑问

嘿，咱们一步步来拆解这个问题，其实从已知条件先化简S的表达式会更直观：

第一步：利用T的零化多项式化简S #

已知算子( T )满足( T^3 + 3T^2 = 4I )，也就是( T^3 = 4I - 3T^2 )。我们先把( S = T^4 + 3T^3 - 4I )里的高次项用这个等式降次：

• 首先，( T^4 = T \cdot T^3 = T(4I - 3T^2) = 4T - 3T^3 )
• 再把( T^3 = 4I - 3T^2 )代入上式，得到( T^4 = 4T - 3(4I - 3T^2) = 4T - 12I + 9T^2 )

现在把化简后的( T^4 )和( T^3 )代入S的表达式：

S = (4T - 12I + 9T^2) + 3(4I - 3T^2) - 4I

展开后合并同类项：

• ( 9T^2 - 9T^2 = 0 )
• ( -12I + 12I - 4I = -4I )
• 剩下( 4T )

最终得到：( S = 4(T - I) )。这一下就清晰了——S可逆的等价条件是( T - I )可逆，也就是1不是T的特征值。

第二步：分析T的特征值范围 #

T的零化多项式是( x^3 + 3x^2 - 4 )，我们先因式分解它：

x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2

所以T的特征值只能是1或者-2，极小多项式必然是这个多项式的因式。

第三步：结合S的零化多项式推导可逆性 #

你提到S的零化多项式是( x(x + 12)^2 )，这和我们刚才的结论完全对应：

• 如果T有特征值1，那么( T - I )的特征值是0，对应的S的特征值就是( 4 \times 0 = 0 )，此时S存在非零的零空间，不是单射，自然不可逆；
• 如果S的特征值只有-12，说明T没有特征值1（因为只有当T的特征值是-2时，( T - I )的特征值是( -2 - 1 = -3 )，对应的S的特征值是( 4 \times (-3) = -12 )）。这时候( T - I )的所有特征值都不为0，( T - I )可逆，那么( S = 4(T - I) )也可逆（因为可逆算子的数乘依然可逆）。

总结一下：当且仅当T的特征值不含1时，S可逆；若S只有特征值-12，说明T的特征值全为-2，此时S必然可逆。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user398623