幂等矩阵是否仅能拥有特征值1？相关实例求证

哈哈，这个问题其实挺有意思的！答案是肯定的，而且最直接的例子你肯定很熟悉——就是单位矩阵$I_n$。下面咱们来仔细捋一捋：

首先回顾幂等矩阵的定义：对于$A \in M_n(\Bbb R)$，若满足$A^2 = A$，则称$A$为幂等矩阵。已知幂等矩阵的特征值只能是0或1，那有没有特征值全为1的呢？

咱们从矩阵的性质出发推导：

• 假设$A$是仅以1为特征值的幂等矩阵，那么$A - I_n$的所有特征值都是0，也就是说$A - I_n$是一个幂零矩阵（即存在正整数$k$使得$(A - I_n)^k = 0$）。
• 把$A = I_n + N$（其中$N = A - I_n$是幂零矩阵）代入幂等的条件$A^2 = A$，展开左边可得：
  $$(I_n + N)^2 = I_n + 2N + N^2$$
  等式右边是$I_n + N$，两边相减化简后得到：
  $$N + N^2 = 0$$

现在来看这个式子：如果$N$是非零的幂零矩阵，比如二阶的$\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}$，代入后$N + N^2 = N \neq 0$，显然不满足上面的等式。只有当$N = 0$时，等式才成立，这时候$A = I_n$。

咱们验证一下单位矩阵：$I_n^2 = I_n$，完全符合幂等矩阵的定义，而且它的所有特征值都是1，完美满足“仅以1为特征值”的要求。

所以结论就是：存在仅以1为特征值的幂等矩阵，而且唯一的这样的实矩阵就是单位矩阵$I_n$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eric