求使二元函数f(x,y)在点(0,0)处存在临界点的所有常数a

咱们来一步步解决这个问题：首先得明确，函数在某点有临界点的充要条件是该点的梯度为零向量。所以我们需要计算$f(x,y)$在$(0,0)$处的梯度，再分析满足梯度为零的$a$值。

步骤1：展开函数并计算偏导数 #

先把原函数展开，这样求偏导数会更清晰：
$$
\begin{align*}
f(x,y)&=(4x^2+axy+y2)(a+x)\
&=4a x^2 +4x^3 +a^2xy +a x^2 y +a y^2 +x y^2
\end{align*}
$$

接下来分别计算对$x$和$y$的偏导数：

• 对$x$的偏导数$f_x$：
  $$f_x = 8a x +12x^2 +a^2 y +2a x y + y^2$$
• 对$y$的偏导数$f_y$：
  $$f_y = a^2 x +a x^2 +2a y +2x y$$

步骤2：代入$(0,0)$验证梯度 #

把点$(0,0)$代入上面两个偏导数：

• $f_x(0,0) = 8a\cdot0 +12\cdot0^2 +a^2\cdot0 +2a\cdot0\cdot0 +0^2 = 0$
• $f_y(0,0) = a^2\cdot0 +a\cdot0^2 +2a\cdot0 +2\cdot0\cdot0 = 0$

你会发现，不管$a$取任何实数值，代入后两个偏导数的结果都是0，也就是说$(0,0)$处的梯度始终是零向量。

最终结论 #

所有实数$a$都满足条件，即$a \in \mathbb{R}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tuki